И здан и е второе, стереотипное

(
1
)
(
2
)
,т + Э
(
3
)

---

§ 8. О н е к о р р е к т н о ст и з а д а ч м а т е м а т и ч е с к о й ф изики
Мы уже отмечали в § 1, что одна и та же задача может 
бы ть корректной в одной паре пространств и некорректной 
в др угой паре. Здесь мы поясним э т о утверж дение на двух 
п р осты х примерах.
1. 
З а д а ч а Д и р и х л е д л я о д н о р о д н о г о у р а в ­
н е н и я Л а п л а с а . Эта задача была рассм отрена в § 3, где 
бы л о выяснено следую щ ее: если 2 — обл а сть и ' Г —- е е кон­
тур, т о задача корректна в паре п ростран ств ( G (2 ), С (Г )). 
Однако 
в 
ряде 
случаев 
бывает 
важно 
знать величину 
интеграла Дирихле о т искомой функции
В *=1
э т о т интеграл обы чн о пропорционален энергии состояния, 
описы ваемого функцией м. В связи с этим мы поставим 
во п р о с о корректн ости задачи Дирихле для о д н ор од н ого 
уравнения Лапласа в паре пространств ( / / 9 ( 2 ) , С (Г )), где 
(
2 ) — пространство функций, 
квадратично суммируемых 
в 2 вместе со своими первыми производными; норма в 
( 2 ) определяется формулой
fit
II И Ilk (9) = f [и* + 2 ( d x ; ) ] dX' 
^
8 
1
Л егко убедиться, что ответ на эт о т в о п р о с отрицателен. 
Рассмотрим 
известный пример Адамара. П у сть 2
круг 
х*
1. Поставим задачу: найти гарм он ическую в а
функцию u { x v, Xi), удовлетворяю щ ую кр аевом у условию
СО
U
| р_ ! = <р (6), 
<Р (6) = 2 ^ C0S ( 2?Л0)- 
/1=1
Здесь р и 9 — полярные координаты точки (jfi, Jf«).
Члены ряда (2 ) непрерывны на ок р у ж н ости Г: р = 1, 
а самый ряд сходи тся равномерно, так как он имеет сх од я ­
щ уюся мажоранту
00
2
i -
/Iя* !

---

О тсю да сл едует, что <р £ С (Г). Решение задачи (2 ) м ож но 
«редставить в виде ряда (см. § 1 гл. 13)
» •. 
ОЭ
;
(3)
tl—1
И нтеграл Д ирихле функции (3 ) расходится. Д ействительно, 
нетр удн о подсчитать, что если 0 < р 0 < 1 , то
(4 )
Р < Р о 
П=1
Сумма 
ряда 
(4 ) 
стремится 
к бесконечности при р0 
1. 
Д ействительно, зададим произвольное натуральное число N
и вы берем p i < ^ l так, чтобы p f ^ 1 
у • Т огда при po^ > pi
1 
П = 1
Если б ы интеграл Д ирихле функции (3 ) по к р у гу радиу­
са единица сходился, т о меньший интеграл (4 ) бы л бы о гр а ­
ничен.
Таким 
обр а зом , 
решение 
задачи 
(2 ) 
не принадлежит 
п р остр а н ств у Я 2( 2 ) . Рассмотрим теперь оператор R, которы й 
переводит краевую функцию tp(6) в решение задачи Дирихле 
и ( х
,, лг9). Если э т о т оператор рассматривать как оператор 
из С (Г ) в / / 9 (Г ), т о он определен не на всем пр остр ан стве 
С (Г ). О т сю д а уж е следует, что задача Дирихле некорректна 
в паре п р остр а н ств ( Я 3(Г ), С (Г )).
2. 
З а д а ч а К о ш и д л я у р а в н е н и я с т р у н ы . П о ­
ставим задачу Коши