|
положительно опреде
ленный.
Действительно,
, f
l ul kt
И« II*
Vl*
Отсюда
|| и ||*
(
6
)
В частности, если и (= D (% ) == П (% ), то
— ( ^ i и> и) = №о ч, ы) —
{—1| и ||а
(7)
и, следовательно, (
9?0
и, w ) ^ ( v , —
1
) || н||а; так как * >
1
,
т о
1
последнее неравенство означает, что оператор
9?0
положи
тельно определен.
Введем
в
рассмотрение
энергетическое
пространство
положительно определенного оператора 9?о. Покажем,
что энергетические пространства Н
и //g j
состоят из
одних и тех же элементов, причем
*
*
+ II и II».
(8)
Доказательство нужно проводить только для идеальных
элементов. Пусть к — идеальный элемент пространства Нщ .
Тогда существует последовательность функций и„ ^ D (9?е) =
= D (9 fi) такая, что
1
11 п
—
и т
1зг --------- о,
||
ип
—
и
||‘— >
0
. .
•“ ‘ в
т. /г-*оо
"
"
11 я-*оо
Написав тож дество (7) для разности ня — ит, видим, что
одновременно выполняются и соотношения
К - И т Ь г , —
- ^
0
,
||вв _
И| | ._ Го ,
которы е показывают, что и ^
• Точно так же доказы
вается и обратное утверждение: если и £ Нщ , т о одновре
менно и £ / % .
1
Из формулы (7) следует, что соотнош ение (
8
) справед
ливо для элементов области D(9to) = Z5(-Jfi); предельным
переходом оно устанавливается и для идеальных элементов
энергетических пространств.
Формула (2.5) показывает, что для функций и (55 Щ ^ о )
верны равенства
(9)
и
[и, v ^ ^ A j b ^ ^ d x .
(
10
)
Предельным
переходом
они распространяются
на любые
функции из /% „•
'
Т е о р е м а
16.4.2.
Оператор
9?о имеет дискретный
\
спектр; его собственные числа и собственные функции
\
суть
v
ft— 1
и uk, где
и uk
— собственные числа и
собственные функции оператора
9ft.
I
Число
и функция uk(x) суть обобщ енное собственное
|
число и соответствующая ему обобщенная собственная функ
ция оператора 9lt. В таком случае они связаны соотношением
[«*• Ч ]», = * * ( “ *•
V ч б # » , -
О 1)
Из соотношения (
8
) для норм
вытекает аналогичное
соотношение для скалярных произведений:
[«.
= [ « . «Ы . + ( « •
Вспоминая еще, что пространства Н
щ
и Неця состоят из
одних и тех же элементов, мы можем преобразовать со о т
ношение (
11
) к виду
[и*. Т]Ц, = ( Ч — !)(«*> Ч)>
V I 6 ^ 9 1 ,•
( 12)
Равенство (
12
) показывает, что оператор
имеет счетное
множество положительных и возрастающих до бесконечности
обобщенных собственных чисел vA —
1
; им соответствую т
обобщенные собственные функции uk(x), система которы х
ортонормирована и полна в 1
2
(й). Тем самым теорема
доказана.
§ 5. О бобщ ен н ое решение задачи Неймана
Рассмотрим теперь уравнение
% u = f,
/ £ £ , (
2
).
0
)
или, что то же, дифференциальное уравнение
при краевом условии
4 * - g ^ C
0
S (v' * / )
1
г = = ° -
О )
где коэффициенты AJk^ C ^ ) (Q) таковы, что выполняется
неравенство
т
Ajk
С*) tjh >
х
£ ^
Р*=
const > °-
Напомним, что по принятому нами допущению, 2 — конечная
область, удовлетворяющая условию конуса, а условие
£ Z
4
(
2
) означает, что
^ / (лг) dx — 0,
^ Р
(
л г
)
dx
со.
(4)
2
2
Оператор
— положительно определенный в Za (2 ), поэтому
уравнение (
1
) имеет в Н% одно и только одно обобщенное
решение и0(х). Как и любой элемент энергетического про
странства
h
0
^ Z
3
(
2
), т. е. Нц(лт) квадратично сум
мируема в
2
и
^ i/o (лг) dx = 0.
(4,)
а
Далее, г?
0
(х ) имеет обобщенные первые производные, квад
ратично суммируемые в 2 . Функция и0(х) реализует минимум
функционала
I « К - 2 («, / ) = ^ [
а
„
£
- 2 » /] i x .
и
е « Я . (5 )
Дальнейшее исследование проведем для уравнения Лапласа
— А и — f ( x ) .
(
6
)
Краевое условие принимает более простую форму
£ 1 = ° -
<7>
Условия (4) и (4^ сохраняются. Как и в общем случае,
сущ ествует обобщенное решение н<»(-*0 задачи (
6
)— (7); оно
реализует минимум функционала
т
» e « v
(в)
2
д=1
и потому вариация функционала (
8
) в точке и
0
обращается
в нуль. Это дает тождество
(9)
я
Т е о р е м а 16.5.1. Если / ^ C (I)(S ), то щ ^ С (а) (2 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о почти дословно такое же, как и
в теореме 14.6.2: вводим объемный потенциал
+ (■*) = — (,„ _ 2) | S, | ^
^ ^
так что — Дф == / ( * ) и ф ^ С (1) ( 2 ) П С (4) (2 ), и в тождестве
(9) делаем замену i
/0
= г
>
0
-f- ф- Мы получаем новое тождество
Г й 7 б л = 0 ’
v , e « s . . -
0 0)
Положим т)(\) = (
1
>д (г), г — \х — Е |, j c ^ 2 и А меньше,
чем расстояние от х до границы области 2 . Э го можно
сделать, потому что:
1
) u>A(r) бесконечно дифференцируема;
2
) вблизи границы (ол(г) =
0
и, следовательно, шЛ(г) уд ов
летворяет краевому условию (7). В таком случае шЛ (г ) £
£ D { % )
и, тем более, и>А( г ) £ Я ЭТ().
Итак,
К ак
и
в те о р е м е
1 4 .6.2, о т с ю д а сл ед ует, ч то
v 0h>
а значит,
и
г»0 гарм онична в
2 .
Н о то г д а
и те о р е м а доказана.
Замечания, сделанные после доказательства теоремы 14.6.2,
остаю тся в силе и в данном случае.
УПРАЖНЕНИЯ
1.
Доказать, что любая функция
и
£
Ls
(2), такая, ч то обобщ ен
ные первые производные
£ Z.2 (£!), fc = l, 2, . . . ,
т,
принадле
жит энергетическому пространству
(§ 4). Вывести отсюда
неравенство Пуанкаре
О бласть Q предполагается конечной и удовлетворяющ ей усло
вию конуса.
2. Исходя из интегрального представления С. Л. Соболева,
доказать:
Если функция
а
(лг) имеет обобщенные первые производные
£
L2 (Q), k — l,
2, . . . ,
tn,
то она эквивалентна функции, опре
деленной почти всю ду и суммируемой с квадратом на любой ку
соч н о гладкой (/я — 1)-мерной поверхности £ с : Й .
3. Доказать, что обобщ ен н ое решение
иа
(
х
) задачи Неймана
удовлетворяет краевому условию в следующем смысле: пусть
—
внутренняя подобласть области 2 с кусочно гладкой границей Г_ и
£J„—»-£2. Тогда
4.
Пусть коэф фициент
С \ х)
непрерывен и неотрицателен в
замкнутой области Q, причем на некотором множестве положитель
ной
меры С ( д : ) > 0 .
Примем еще, что коэффициенты
А л { х )
обладают свойствами, перечисленными в § 1, а область Q конечная
и удовлетворяет условию конуса. Доказать, что оператор 91 (§ 1)
положительно определенный и его спектр дискретен.
г-о £
( 2 ) ,
щ = (®0 + ф) £ С(2) (2 ) ,
т
сх, с3
= const.
Г
п
Do'stlaringiz bilan baham: |
