И здан и е второе, стереотипное

 +
II 
и ||* = j
Aj„ 
d x
+
II 
и 
II*. 
(2)
Интеграл неотрицателен, поэтому
(9^ гг, гг) ^ || гг !|а,
(
3
)

---

Последнее неравенство означает, чго
По неравенству (1.2)
т
a *=i
Отсюда
Таким образом, само множество М  и множества первых 
производных от функции из М  ограничены в метрике Z.
4
(
2
). 
Напишем для функции и £ М  интегральное представление
(3.6). Вполне непрерывные интегральные операторы, входящие 
в это представление, преобразуют указанные здесь ограничен­
ные множества в компактные. Этим доказано, что множе­
ство М  компактно в Z.
4
(2).
— собственные числа оператора 9it. a uv ut, . . . , н„, . . .
— соответствующ ие собственные функции.
В силу теоремы 6.4.1 имеем
Докажем, что знак равенства невозможен и, следовательно, 
vt > l . Предположим противное, и пусть vt = 1. Тогда из 
формулы (4) следует, что
Пусть
Vi 
vj ^ . . . s g v„ 
. . .
Отсюда
1
, 
2
, . . . , m\ 
ii\
= Ci = const.
Ho i/j ^ Z
9
(
2
), поэтому
О = (и „ 1 ) = (c „ l) = 5 c i flfAr==ci l
2
l>

---

и С\ =
0
. Окончательно, щ (х ) =
0
, что противоречит опре­
делению собственной функции. Наше утверждение доказано. 
Как следствие мы получаем следующую важную теорему. 
Т е о р е м а 16.4.1. Оператор 
9
i
0