И робототехнические системы

8.2. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов
на основе линейной зависимости между абсолютными и обобщенными скоростями (управление по скорости)
Как известно, положение схвата манипулятора однозначно определяется его обобщенными координатами, а именно:

,

(8.6)

где: – вектор абсолютных координат схвата;
– вектор обобщенных координат манипулятора;
– число степеней подвижности манипулятора.
Дифференцируя (8.6) по времени, получим

,

(8.7)

где – матрица Якоби размерностью для преобразования (8.7).
В терминах рассматриваемой нами обратной задачи кинематики манипуляционных систем матрица Якоби (размерностью ) имеет вид:

Зависимость (8.7) более подробно можно представить следующим образом:

(8.8)

Зависимости (8.7) и (8.8) показывают, что между абсолютными скоростями и обобщенными скоростями существует линейная связь, однако коэффициенты в этой линейной связи переменные, так как элементы матрицы Якоби , которые образуют эти коэффициенты в различных сочетаниях, есть величины переменные.
Выражение (8.7) представляет собой прямую скоростную задачу и её решение при известных (заданных) функциях не представляет собой принципиальных трудностей.
Решим зависимость (8.7) относительно обобщенных скоростей , а именно:

(8.9)

Эта зависимость и есть решение обратной задачи по скорости, которая часто используется для управления манипуляционным роботом в режиме on-line.
При этом вектор обобщенных координат Q является неизвестным и значения приходится для данного момента времени (рассчитываемого момента реального времени) брать с датчиков обратной связи, фиксирующих текущее положение i-го звена относительно (i-1)-го, то есть значение .
В выражении (8.9) есть обратная матрица по отношению к матрице Якоби .
Рассмотрим более подробно последовательность решения прямой и обратной скоростных задач на примере простого манипулятора с двумя степенями подвижности (рис. 8.9).



Рис. 8.9. Манипулятор с двумя степенями подвижности

Прямая задача о положении:

(8.10)

При этом: .
Обратная задача о положении:

.

(8.11)

Даже для столь простого манипулятора решение обратной задачи представляет собой нелинейные зависимости.
Для более сложных манипуляторов, как правило, найти зависимость в явном виде не представляется возможным.
Однако зависимость необходима для управления манипуляционным роботом, так как требуемое движение схвата обеспечивается соответствующими движениями звеньев манипулятора по обобщенным координатам: .
В то же время, как было указано раньше (см. зависимость (8.9)), между обобщенными скоростями и абсолютными скоростями существует линейная связь с переменными коэффициентами. Именно поэтому часто и переходят к управлению по скоростям.
Получим требуемые зависимости между обобщенными и абсолютными скоростями для рассматриваемого нами двухзвенного манипулятора, используя общий подход, не прибегая пока к обратной матрице Якоби.
Пример решается с целью продемонстрировать порядок получения аналитических зависимостей для управления по скоростям, считая это решение обратной задачи в явном виде (подобно выражениям (8.11)) невозможным или нецелесообразным из-за сложности.
Поэтому начнём решение с дифференцирования формул (8.10) по времени

(8.12)

Введем обозначения:

; ; ; ;

(8.13)

Тогда:

(8.14)

Решим полученные зависимости (8.13), (8.14) относительно обобщенных скоростей и . Получим вначале явную зависимость от и для обобщенной скорости . Для этого умножим первую из зависимостей (8.14) на , а вторую на :

Вычтем из первого выражения второе: , и следовательно:

.

(8.15)

Для получения явной зависимости относительно умножим первое из выражений (8.14) на , а второе на . Тогда:

Вычитая из первого выражения второе, получим .
Откуда

(8.16)

Упростим выражения (8.15) и (8.16). Вначале упростим знаменатель дроби перед и , учитывая выражения (8.13),

Теперь выражения (8.15) и (8.16) можно записать в окончательном виде:

Или компактнее

(8.17)

В матричной форме выражения (8.17) имеют вид

.

(8.18)

Что и требовалось получить.
Выражения для обобщенных скоростей в форме (8.17) и (8.18) выше получены обычным путем алгебраических преобразований. Для сложных манипуляторных систем такой подход будет связан с громоздкими преобразованиями.
Для решения рассматриваемой задачи имеется более рациональный подход с использованием обратной матрицы Якоби.
Представим производные (8.12) и (8.14) по времени в виде выражений:

или в форме матриц:

(8.19)

Матрица, являющаяся первым сомножителем в правой части выражения (8.19), есть матрица Якоби.
Следовательно, выражение (8.19) можно записать в виде

.

(8.20)

Убедимся, что первый сомножитель в правой части выражения (8.20) есть матрица Якоби для рассматриваемого манипулятора.

Действительно, беря частные производные по и от правой части зависимости (8.10), получим

.
Данное выражение полностью совпадает с соответствующей матрицей выражения (8.19).
Получим обратную матрицу Якоби в следующей последовательности:

1. 
   Матрица алгебраических дополнений исходной матрицы Якоби:
   

.

2. 
   Присоединенная матрица – транспонированная матрица алгебраических дополнений:
   

.

3. 
   Определитель исходной матрицы Якоби – Якобиан:
   

.

4. 
   Обратная матрица Якоби
   

.
Как видно, полученное выражение полностью совпадает с первым сомножителем правой части зависимости (8.18) и, следовательно, выражение (8.9) полностью обосновано для рассмотренного примера.