И робототехнические системы

7.3. Определение абсолютных скоростей
и ускорений точек и звеньев манипулятора
После того как принят закон изменения обобщенных координат q_i(t), можно в соответствии с изложенным ранее матричным методом определить положение схвата и любого другого звена манипулятора в пространстве, т. е. определить координаты их характерных точек и ориентацию как функцию времени.
Запишем вновь выражение (7.1):
^Тогда .
<sup>Так как , то или
С формальной стороны назначение вектора столбца заключается в выделении из матрицы 4x4 подобного ему вектора-столбца, в основе которого будет четвертый столбец матрицы .
П
оэтому можно записать, с учетом того, что по четвертой координате скорость равна 0, т. к. dl/dt = 0:


(Производная от матрицы равна матрице, все элементы которой есть производные от элементов исходной матрицы).</sup>
Таким образом, для определения линейных скоростей точек манипулятора и, в частности схвата, достаточно взять производную по времени от соответствующей матрицы перехода и выделить в ней четвертый столбец.
Найдем производную матрицы перехода как производную произведения:
(7.6)
Если бы имелись аналитические выражения для каждого элемента результирующей матрицы перехода, то достаточно было бы продифференцировать по времени эти элементы и получить абсолютные скорости по каждой координате X,Y,Z. Однако обычно располагают только матрицами перехода, перемножая которые определяют координаты необходимых точек манипулятора и ориентацию его звеньев.
^{Если разрабатывается система управления для конкретного манипулятора, то возможно в некоторых случаях провести преобразования и перейти к конкретным аналитическим выражениям. Но это должно оцениваться в каждом конкретном случае: либо целесообразно сокращать затраты времени проектировщиков, либо машинное время при управлении роботом.}
После того как определены скорости по трем координатам, можно определить полную абсолютную скорость требуемых точек звеньев манипулятора, и в частности центра схвата.
.
Так как при исследовании кинематики манипуляторов используются специальные системы координат и перемещение i-го звена относительно (i-1)-го всегда происходит по оси Z_i-1 либо вокруг нее, то расчет производных от исходных матриц перехода кинематических пар несколько упрощается: чтобы продифференцировать матрицу перехода кинематической пары, достаточно ее умножить слева на матрицу дифференцирования _i-1,i:

если i-я кинематическая пара вращательная;

если i-я кинематическая пара поступательная,

то есть

Тогда выражение (7.6 ) примет вид:

Пример: Пусть матрица перехода будет иметь вид (поворот вокруг оси Z_i-1):

Тогда по правилу дифференцирования матриц

С использованием матрицы дифференцирования _i-1,i:

Определим матрицу , равную произведению , для вращательной и поступательной кинематических пар:

• 
  вращательная кинематическая пара :
  

• 
  поступательная кинематическая пара varia:
  

Зная аналитические выражения матриц скоростей, их можно непосредственно подставлять в выражение (7.6).
Смысл использования оператора дифференцирования , состоит в сохранении матриц , чтобы не переходить к другим аналитическим выражениям при составлении программ вычисления скоростей.