I. Разностные схемы 5

Глава II. Устойчивость и сходимость двухслойных разностных схем.

В 2.1, который носит вводный характер, обсуждается понятие устойчивости разностной схемы, определяемой как операторно-разностное уравнение в линейном нормированном пространстве. Дается общее определение устойчивости и выясняется связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части. В 2.2 получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным двухслойных разностных схем с операторами в гильбертовом пространстве. Теоремы этого параграфа являются основным результатом книги и широко используются в последующем изложении. В 2.3 на примерах разностных схем для типичных задач математической физики иллюстрируется применение теории устойчивости, изложенной в 2.2.

2.1. Устойчивость по начальным данным и по правой части.

1. Общие понятия. В предыдущей главе рассматривались свойства разностных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , и были получены оценки решений некоторых разностных задач. При аппроксимации задач математической физики получается семейство операторных уравнений, зависящее от некоторого параметра , характеризующего плотность распределения узлов сетки. Для формального описания разностной схемы естественно ввести семейство линейных пространств (пространств сеточных функций), где — векторный параметр, снабженный нормой .
Будем считать, что — конечномерное пространство, размерность которого зависит от и может стремиться к бесконечности при . Назовем разностной схемой семейство операторных уравнений
(1)
где и — элементы пространства , — линейный оператор, область определения которого совпадает с , а множество значений лежит в , . Ясно, что это определение включает все разностные схемы, аппроксимирующие стационарные задачи математической физики.
Операторы являются ограниченными при каждом фиксированном , но, вообще говоря, не являются равномерно ограниченными по .
Типичным примером является оператор , заданный на — пространстве функций , определенных на сетке и равных нулю при . В этом случае

При изучении разностных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения математической физики (уравнения параболического и гиперболического типов), когда переменное (время) выделяется особо, более удобно пользоваться понятием операторно-разностной схемы (разностной по аргументу и операторной по другим аргументам).
Пусть — произвольная сетка на отрезке с шагами . Будем рассматривать функции дискретного аргумента При каждом фиксированном значении функция является элементом пространства , . В этом случае говорят, что является абстрактной функцией аргумента со значениями в . Рассматриваемые ниже абстрактные функции, вообще говоря, зависят от параметра и от выбора сетки , так что (зависимость от сетки указываем индексом ). Линейные операторы , действующие в , также могут зависеть от , от сетки и от переменного :
, , …
Операторы, зависящие от , называют переменными операторами. Если, например, оператор не зависит от , , то он называется постоянным оператором.
Назовем - слойной операторно - разностной схемой разностное (по или ) уравнение - го порядка с операторными коэффициентами: