I. Разностные схемы 5

Глава I. Разностные схемы

В этой главе дается необходимый предварительный запас сведений, относящихся к аппроксимации дифференциальных выражений разностными, построению и исследованию разностных краевых задач. Основные вопросы теории разностных схем иллюстрируются на простых примерах, ч для которых проводится детальное теоретическое исследование. В § 1.1 рассматриваются примеры разностных аппроксимаций, в § 1.2 исследуются свойства возникающих при этом стационарных разностных операторов, и в § 1.3 доказывается устойчивость соответствующих нестационарных задач.

1. Примеры разностных аппроксимаций.

1. Обозначения. В этом параграфе будут рассматриваться достаточно гладкие функции , заданнқе на отрезке . Будем обозначать через _h равномерную сетку на отрезке [0, ]:
(1)
а через неравномерную сетку:

Множество внутренних точек этих сеток обозначается через и соответственно:

Значение функции в точке сетки или обозначается через , т.е. .
Для разностных отношений на равномерной сетке приняты следующие обозначения:

В случае неравномерной сетки будем обозначать:

Часто мы будем пользоваться безиндексными обозначениями, т. е. опускать индекс , полагая , , и т.п.
2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражений. Чтобы выяснить порядок погрешности аппроксимации того или иного разностного выражения, надо провести разложение по формуле Тейлора функций, входящих в это выражение. Приведем сводку простейших разностных аппроксимаций на равномерной сетке :


где - любое число.
На неравномерной сетке порядок погрешности аппроксимации, вообще говоря, понижается. Имеют место следующие разложения:

Пусть - заданная достаточно гладкая функция. Для аппроксимации дифференциального выражения используются следующие разностные операторы:

где коэффициент выбирается из условий второго порядка аппроксимации на равномерной сетке. Из разложения

и формулы следует, что функция должна удовлетворять условиям

Часто используются, например, следующие аппроксимации коэффициента

Чтобы аппроксимировать выражение

рассмотрим разностный оператор

где — некоторая сеточная функция. Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

Сравнивая это выражение с исходным оператором

видим, что условия

обеспечивают второй порядок аппроксимаций. Например, можно положить . Приведем еще пример монотонной аппроксимации Второго порядка для оператора
(14)
где . Представим в виде суммы

и заменим (14) разностным оператором

где , . Тогда, как нетрудно проверить, , т. e. имеет место аппроксимация второго порядка.
Оператор (15) можно записать в виде

где

Следовательно, независимо от знака коэффициента выполнены условия , , , означающие монотонность оператора (15).
3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка. До сих пор мы рассматривали аппроксимацию дифференциальных операторов во внутренних точках сеток и . Приведем теперь примеры аппроксимации граничных условий.
Первая краевая задача

аппроксимируется на сетке с порядком следующей системой разностных уравнений (разностной схемой):

где коэффициент выбирается согласно (11) и , . Задача (18) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, и ее можно записать в матричной форме:
(19)
где — вектор размерности .

— симметричная трехдиагональная матрица:

В наиболее простом случае, когда , , матрица принимает вид

Если сетка неравномерна, то вместо (18) записывается разностная схема

имеющая первый порядок аппроксимации.
Для уравнения с постоянными коэффициентами

нетрудно построить схему, имеющую четвертый порядок аппроксимации на решении задачи (23). Воспользовавшись разложением (5'"), получим

Поэтому разностные схемы

имеют четвертый порядок аппроксимации на решении задачи (23).
Рассмотрим теперь случай краевых условий третьего рода

Во внутренних точках сетки уравнение (25) заменяется разностным уравнением (18), которое имеет аппроксимацию . Для того чтобы разностная задача была полностью поставлена, необходимо также аппроксимировать краевые условия (26) и (27). При этом желательно, чтобы порядок погрешности аппроксимации краевых условий был не ниже порядка погрешности аппроксимации основного уравнения. Так как согласно (11)

то, учитывая разложения (5') и (5"), получим

т.е.

и, аналогично,

Из формулы (28) при получаем

Поэтому краевое условие (26) аппроксимируется с порядком следующим разностным уравнением:

Краевое условие (27) заменяется разностным краевым условием

Итак, исходной задаче (25)—(27) ставится в соответствие разностная задача

где , , , . Разностная схема (32) имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (25) - (27). Перепишем эту схему в виде

Систему уравнений (33) можно записать в матричной форме (19), где , и A матрица , равная

Отсюда видно, что — симметричная трехдиагональная матрица.
Если , то матрица принимает вид

2. Свойства некоторых разностных операторов.

1. Линейные операторы в нормированных пространствах. Из примеров, приведенных в предыдущем параграфе, видно, что разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение с операторами, действующими в некотором функциональном пространстве, а именно в пространстве сеточных функций. Под пространством сеточных функций понимается множество функций, заданных на некоторой сетке и удовлетворяющих определенным разностным граничным условиям. Разумеется, краевые условия должны быть выбраны таким образом, чтобы соответствующее множество сеточных функций являлось линейным пространством. Как правило, размерность пространства сеточных функций конечна при каждом фиксированном шаге , но стремится к бесконечности при . Различные пространства сеточных функций могут отличаться одно от другого выбором сетки , способом задания краевых условий, нормировкой.
Будем рассматривать конечномерное линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. Говорят, что на множестве задан оператор А, если каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент . Множество называется в этом случае областью определения оператора (обозначается ), а множество элементов вида — множеством значений оператора (обозначается ). Отображение, задаваемое оператором , будем обозначать : .
Через 0 обозначается нулевой оператор и через — единичный.
Пусть оператор отображает на взаимно однозначно. Тогда можно определить оператор , действующий из в , такой, что , если . Такой оператор называется обратным оператору , а сам оператор называется в этом случае невырожденным.
Будем говорить, что оператор действует в пространстве , если , (обозначаем : ).
Оператор называется линейным, если

для всех и .
В дальнейшем мы рассматриваем только линейные операторы, действующие в .
Лемма 1. Пусть — линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве . Оператор с областью определения существует тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственное решение .
Для любых невырожденных операторов и справедливо тождество
(1)
Пусть в пространстве введена норма . Оператор называется ограниченным, если существует постоянная такая, что для всех . Точная нижняя грань всех таких постоянных называется нормой оператора и обозначается . Эквивалентным этому определению является следующее определение нормы оператора:

Норма оператора обладает следующими свойствами:

где — любое число.
В конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен. Однако если мы имеем семейство операторов , действующих соответственно в пространствах (ситуация, характерная для разностных схем), то следует различать ограниченность при фиксированном параметре и равномерную по ограниченность (т. е. существование постоянной , не зависящей от , такой, что при всех ).
Лемма 2. Ограниченный оператор, обратный оператору _, существует тогда и только тогда, когда найдется постоянная такая, что для всех _. При этом .
2. Операторы в гильбертовом пространстве. Пусть — конечномерное линейное пространство над полем действительных чисел . Скалярным произведением в пространстве называется функция двух аргументов со значениями в , обладающая свойствами
(2)

В случае комплексного пространства скалярное произведение определяется аналогично, однако свойство (2) заменяется требованием

где черта означает комплексно сопряженное число.
Пространство называется гильбертовым, если в нем введено скалярное произведение, а норма определяется как квадратный корень из скалярного квадрата:
(5)
Норма (5) обладает свойством

Справедливы также следующие тождества:

в действительном пространстве и

в комплексном пространстве.
Имеет место неравенство Коши— Буняковского
(9)
для любых .
_{Будем рассматривать линейные} операторы действующие в конечномерном гильбертовом пространстве _.
Оператор называется сопряженным оператору ,если для всех выполнено тождество
(10)
Для любого линейного ограниченного оператора с областью определения существует, причем единственный, оператор с областью определения . Оператор линеен и ограничен, .
Операция сопряжения обладает следующими свойствами:

Из последнего свойства следует, в частности, что и перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны и .
Докажем тождество
(11)
Из свойства нормы оператора следует
(12)
С другой стороны, для любого элемента имеем

3. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем.

1. 
   Устойчивость и сходимость стационарных задач. Проведенное в предыдущем параграфе исследование свойств разностных операторов позволяет легко получить оценки решений соответствующих разностных задач через правые части, т. е. исследовать устойчивость разностных схем по правой части. В общем случае запишем разностную задачу в виде операторного уравнения
   

(1)
где сеточная функция рассматривается как элемент некоторого конечномерного гильбертова пространства — оператор, действующий в этом пространстве. Предположим, что задача (1) однозначно разрешима при любых , т. е. что существует оператор . Пусть в пространстве введено скалярное произведение и норма . Тогда решение задачи (1) удовлетворяет любому из следующих тождеств:

Из этих тождеств нетрудно получить оценки нормы решения через правую часть (априорные оценки). Предположим, например, что — положительно определенный оператор, т. е. , где не зависит от . Тогда из тождества (2) и неравенства Коши— Буняковского следует оценка

т.е.
(6)
Заметим, что тождества (3) и (5) также можно рассматривать как некоторые априорные оценки решения задачи (1). Если — самосопряженный положительный оператор, то это же замечание относится и к тождеству (4), ибо выражение является некоторой нормой правой части .
Пусть — точное решение некоторой дифференциальной задачи и — решение аппроксимирующей ее разностной задачи (1). Для погрешности в силу линейности оператора получаем задачу
(7)
где — погрешность аппроксимации на решении . Предположим, что задача (1) устойчива, например, в смысле выполнения оценки (6). Тогда для решения задачи (7) справедлива оценка

свидетельствующая о сходимости задачи (1), если только при . Таким образом, для исследования сходимости разностной схемы надо, во-первых, доказать ее устойчивость и, во-вторых, проверить, стремится ли к нулю соответствующая норма погрешности аппроксимации.
Поясним все сказанное примерами исследования сходимости разностных схем.
Рассмотрим первую краевую задачу (17) из 1.1 и аппроксимируем ее на сетке разностной задачей (18) из 1.1. Предположим, что коэффициенты являются достаточно гладкими функциями коэффициенты удовлетворяют условиям второго порядка аппроксимации. Для ошибки получаем разностную задачу

где при .

Введем пространство функций, заданных на и равных нулю при . Тогда разностную задачу (8) можно записать в виде уравнения

где , , а оператор определяется формулами