I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

1.3. Основные понятия метода конечных разностей.

Основная идея метода конечных вычитаний заключается в преобразовании этого дифференциального уравнения с частными производными в соответствующую ему систему линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы дает отрицательное решение для искомой функции .
Основные этапы этого метода следующие:
1) составление типа, охватывающего исследуемую область или какой-либо ее элемент.
2) построение аппроксимации предела вычитания, соответствующего дифференциальному уравнению с исходной частной производной в производном виде и его степенным условиям.
3) построение системы линейных алгебраических уравнений на основе построенной аппроксимации с вычитанием и ее решение.
Мы рассмотрим этот шаг на примере двумерной задачи.
Построение сетки. Построение сетки производится с учетом геометрии материи. Область исследования во многих практических вопросах представляет собой прямоугольник, установив для него соответствующую декартову систему координат, в которой мы можем образовать прямоугольный тип. Такой двумерный тип, построенный на примере прямоугольной пластины 1.2.-изображено на картинке.

Рисунок 1.2. Двумерный прямоугольный тип.
В методе конечных вычетов могут использоваться и другие виды вычетов, например, косоугольный, тип в форме полярных координат. Он выбирается в зависимости от того, какая область исследования поставленной задачи соответствует какой системе координат, например, в вопросе о симметричности головы относительно оси используется полярный тип.
Процесс решения задачи осуществляется с опорой на узлы сетки, то есть точки пересечения ее линий.
Предельная аппроксимация производных в дифференциальных уравнениях с частными производными заключается в замене этих производных в том же виде на их аналоги. Например, в точке

частная производная является ее подмножеством и следует за так называемой “правой производной”

или так называемый” левый производный " следующий

мы можем подставить в уравнение значение, где и – множитель функции и аргумента; , и , – аргумент и значения функции и в узлах; – шаг типа по координате.
Аналогично для частных производных второго порядка по координате
также подходит для

мы можем получить аппроксимацию с вычетом.
Относительно производной в производных выражениях и бесконечно малых и не используются малые значения. Поэтому этот метод также называют методом чековых вычетов. Выводятся соответствующие формулы конечного вычитания производных по отношению к оставшимся , , конечным переменным.