I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

1.2. Общая постановка задачи с краевыми и начальными условиями.

Согласно основной идее метода конечного вычитания, данная функция в среде представлена вектором вида, тогда как дифференциальные операторы аппроксимируют свои аналоги вычитания хотя бы в типах пространственных переменных и времени. В задачах на время мы вынуждены принимать решение, соответствующее реальному времени воздействия, и вычисление производных по времени не так просто, потому что решение, соответствующее новому моменту времени, неизвестно. Поэтому в задачах, содержащих вопросы, связанные со временем, выполнение операции интегрирования в моменты времени требует специальных определений. Когда мы смотрим на вопрос о времени здесь, мы понимаем граничные условные вопросы, заданные в одной точке. Поэтому вопросы, решаемые в момент реального времени, имеют свою специфику и существенную значимость.
Любая механическая, физическая задача обязательно задается начальными условиями и имеет принципиальное значение. Сама реальная задача в процессе математического моделирования сводится к дифференциальным уравнениям или системе уравнений с простыми или частными производными. Рассмотрим ниже некоторые процессы, при которых частные производные приводят к дифференциальным уравнениям.
Предположим, что состояние системы выражается вектором в данной област заданного пространства. известны значения вектора для начальной величины в момент времении для всех значений времени на поверхности сферы. пусть требуется определить вектор для всех значений времени во всех внутренних точках сферы. Исходя из заданных начальных значений, можно построить такое состояние системы

уравнение можно найти, решив, где - алгебраический оператор для обыкновенных дифференциальных уравнений, – пространственный дифференциальный оператор для уравнений с частными производными. Если тип в пространственном состоянии среды выражает векторное состояние, то он состоит из операторов вычитания.
Что касается гидродинамического процесса, то через эту замкнутую систему уравнений можно выразить поток как устойчивых (частные производные по времени равны нулю), так и нестойких идеальных теплопроводящих жидкостей, а также поток жидкости вокруг различных тел в различных условиях. Набор решений этой системы уравнений очень широк. Исходя из условий поставленной задачи, необходимо четко знать условия (предельные и начальные условия), позволяющие выбрать желаемое решение, т. е. формулируется предельная задача.
В исходном состоянии задается поле некоторых параметров среды (например, значений ее миграций, скоростей, плотности, гидродинамических давлений) в момент времени (часто также предполагается, что среда находится в спокойном состоянии).
Одним из важных организаторов процессов, представляемых дифференциальными уравнениями с частными производными, являются соответствующие им дополнительные условия, кроме самих уравнений.
Для уравнений гиперболического и параболического типов вводятся начальные условия, выражающие начальное состояние среды или системы относительно времени условной переменной. , , а по координатам вводятся граничные условия. В вопросах тепловых процессов, например, они характеризуют распределение температур в границах исследуемой области. в задачах с эллиптическими уравнениями время не задействовано, в них вводятся только граничные условия по координатам , , а сама задача называется граничной задачей.
Если предельное условие выражает предельное распределение функции, то это условие называется условием Дирихле. Если на границе области исследования записано это условие, выраженное производной , то это называется условием ХартаНимана , где - единица, помещенная на границе области исследования, нормальная.Если граничное условие составлено из комбинации обоих вышеперечисленных граничных условий, то это называется смешанным граничным условием.
На практике существует множество методов решения таких граничных задач, например, метод характеристик, метод выделения переменных, метод ресурсов, методы периодического учета. В данной работе изучено решение нескольких граничных задач методом конечных вычетов, относящихся к методам периодического учета.