I harakat tenglamalari

---

I. HARAKAT TENGLAMALARI. 

Mexanik sistema holatini aniq belgilash uchun zarur bo’lgan mustaqil 

kattaliklar soni sistema erkinlik darajasi deyiladi. Masalan: 
N
ta moddiy nuqtadan 
iborat sistemaning erkinlik darajasi 3
N
ga tengdir. Mustaqil kattaliklar albatta 
nuqtalarning dekart koordinatalari bo’lishi shart emas. 
Erkinlik darajasi 
N
bo’lgan sistema holatini to’la xarakterlovchi 
N
ta istalgan 
1
2
,
...
N
q q
q
kattaliklar shu sistemaning 
umumlashgan koordinatalari
deb, 
i
i
dq
q
dt

hosilalar esa uning 
umumlashgan tezliklari
deb ataladi. 
Tezlanishlar 
i
q
ni koordinatalar 
i
q
va tezliklar 
i
q
bilan bog’lovchi 
munosabatlar harakat tenglamalari deyiladi. 
Mexanik sistemalar harakat qonunining eng umumiy ifodasi 
eng kichik ta’sir 
printsipi
(yoki Gamilton printsipi) deb ataluvchi printsip orqali beriladi.
Bu printsipga ko’ra har bir mexanik sistema Lagranj funktsiyasi deb ataluvchi

 

1
2
1
2
,
, ...
,
,
, ...
,
, ,
N
N
L q q
q
q q
q
t
L q q t

(1.1) 
funktsiya bilan xarakterlanadi. 
Harakat tenglamasi esa ta’sir (ta’sir integrali, ta’sir funktsiyasi) deb ataluvchi 
quyidagi ifodaning
2
1
( , , )
t
t
S
L q q t dt


(1.2) 
harakat davomida minimal (ekstremum) qiymatga erishishi shartidan topiladi 


0
S


va 
Lagranj tenglamalari
deb ataladi: 
0
i
i
d
L
L
dt q
q








1,2 ...
i
N

(1.3) 
Lagranj funksiyasi 
L
ma’lum aniqlikda topiladi. Bir-biridan koordinata va 
vaqtning ixtiyoriy funktsiyasidan olingan to’la hosilaga farqlanuvchi Lagranj 
funktsiyalari bir xil harakat tenglamalariga olib keladi:

---



 
 
, ,
,
,
,
d
L q q t
L q q t
f q t
dt



(1.4) 
Lagranj funktsiyasining fizik ma’nosi uning kinetik va potentsial energiyalar 
ayirmasiga tengligidadir:
L
T
U
 
(1.5) 
T
- kinetik energiya, 
U
- potentsial energiya. 
To’la energiya Lagranj funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
i
i
i
L
E
q
L
q





(1.6) 
Umumlashgan impulsning aniqlanishi esa quyidagichа: 
i
i
L
P
q



(1.7) 
Umumlashgan kuch ham xuddi shuningdek aniqlanadi: 
i
i
L
F
q



(1.8)