I гильбертово пространство



Download 77,01 Kb.
bet4/5
Sana06.03.2022
Hajmi77,01 Kb.
#483644
1   2   3   4   5
Bog'liq
К.Ректорис14-24.


Глава 3
Пространство L2
Понятия скалярного произведения, нормы и расстояния между функциями, введенные в гл. 2 для функций из линеала L, рас­ширяются в этой главе на линеал так называемых квадратично интегрируемых в области G функций.
Гл. 3. Пространство L2 25
Определение 3.1. Говорят, что вещественная функция и(х) яв­ляется квадратично интегрируемой в области G, если интегралы
^ и (х) dx, ^ “2 (х) (3.1)
g а
являются сходящимися (т. е. если они существуют *) и конечны).
Замечание 3.1. Из приведенного определения видно, что любая непрерывная в замкнутой области G функция является квадратич­но интегрируемой, поскольку оба интеграла, очевидно, являются сходящимися для непрерывной функции. Следовательно, все функ­ции из линеала L, рассмотренного в гл. 2, квадратично интегри­руемы. Однако к классу квадратично интегрируемых функций при­надлежат и функции существенно более общего вида (см. гакже пример 3.1). Мы хотели бы обратить внимание читателя на то, что интегралы (3.1) должны рассматриваться в смысле Лебега, чтобы обеспечить справедливость некоторых получаемых позднее теоретических результатов, особенно тех, которые основаны на понятии полноты пространства Ь2 (см. гл. 4). Определение интег­рала по Лебегу вместе с его основными свойствами вкратце об­суждается в гл. 28. Однако для понимания материала знакомст­во с деталями теории Лебега на данном этапе не является необ­ходимым. Функции, с которыми читатель имеет дело в инженер­ных и научных задачах, не имеющие сингулярностей «слишком высокого порядка» в том случае, когда они неограниченны (ср. пример 3.1), являются квадратично интегрируемыми в рассматри­ваемой области G как в смысле Лебега, так и в классическом смыс­ле Римана. Более того, значения интегралов, так же как и основ­ные способы их взятия, одни и те же. Однако с теоретической точки зрения появляющиеся в последующем интегралы (и в пер­вую очередь интегралы (3.1)) должны рассматриваться как интег­ралы по Лебегу. Таким образом, под словами функция, квадра­тично интегрируемая в данной области, всегда понимается функ­ция, квадратично интегрируемая по Лебегу.
Если речь идет об ограниченных функциях, то к классу квад­ратично интегрируемых функций принадлежат в первую очередь непрерывные и кусочно-непрерывные в G функции. Что же каса­ется неограниченных функций, давайте рассмотрим два простых примера для случая N= 1, т. е. для функций одной переменной.
Пример 3.1. Функция и (х) = \1\/х квадратично интегрируема на интервале (0, 1), так как сходятся оба интеграла (3.1): 11 11


*) В смысле Лебега, см. замечание 3.1. Ср. также замечание 28.4, с. 325.

С другой стороны, функция и(х) — \jVх не является квадратично интегрируемой на интервале (0, 1), поскольку, хотя первый ин­теграл (3.1) сходится, второй является расходящимся:


iiii
u(x)dx=^-~= =2, I*u2(x)dx= | ~ = + °о.
оо ос
Из теории интегралов по Лебегу известно следующее (см. гл 28):

  1. Если функции и (х) и v(x) квадратично интегрируемы в G, то функция alu(x) + a2v(x), где аи а2 — произвольные вещественные постоянные, также квадратично интегрируема в G.

  2. Если функции и(х), v(x) квадратично интегрируемы в G,

то интеграл J u(x)v(x)dx сходится и выполняются следующие а
правила:
^ и (х) v (х) dx= J v (х) и (х) dx,
G G
5 [а,«, (х) + а2и2 (*)] v (х) dx = a, J и, (ж) v (х) dx-f а2 $ ы2 (х) v (х) dx. а о g
Свойство (I) показывает, что множество функций, квадратично интегрируемых в рассматриваемой области G, является линеалом1). Свойство (II) позволяет определить скалярное произведение двух функций этого множества.
Определение 3.2. Пусть и, v—квадратично интегрируемые функ­ции в области G. Число

Download 77,01 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish