I bob. Tenzorlar ustida amallar

Ikkinchi rang tenzorning bosh yo’nalishlari. Xarakteristik tenglama
Ma’lumki, 2-rang tenzorga ikkita
(1.65)
chiziqli vеktor-funktsiyalarni mos kеltirish mumkin. Bu formulalardagi T tеnzorga vеktorning uzunligini va yo’nalishini o’zgartiruvchi opеrator dеb qarash mumkin.
Ta’rif: Agar T tenzorning ta’siri natijasida vektorning faqat uzunligi o’zgarsa, yani shunday va sonlar mavjud bo’lsaki,
yoki (1.66)
tenglik o’rinli bo’lsa, vektorning yo’nalishi T tenzorning bosh yo’nalishi deb ataladi.
Bu holda (1.65) tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(1.67)
(1.68)
Shunday qilib, tenzorning bosh yo’nalishini aniqlash masalasi (1.67), (1.68) sistemalarninh noldan farqli yechimlarini topish masalasiga keltirildi. Bunday yechimlar mavjud bo’lishi uchun esa (1.67), (1.68) sistemaning determinanti nolga teng bo’lishi kerak:
(1.69)
Ikkinchi tomondan, bu yerda indekslarni ko’tarish (tushirish) qoidasiga ko’ra o’rinli bo’lgan

Tenglikdan va matritsalarni ko’paytirish qoidasidan ushbu

munosabatlar kelib chiqadi. Bundan (1.67), (1.68) tenglamalar bitta
(1.70)
tenglama ekanligini ko’ramiz:
Ta’rif: (1.70) tenglama T tenzorning xarakteristik tenglamasi deb ataladi.
Xarakteristik tenglama invariant ekanligini, yani turli koordinatalar sistemasida determinantning qiymati o’zgarmasligini ko’rsatamiz. Buning uchun tenzorning aralash koomponentalarining ushbu

almashtirish formulalarini determinantlar orqali yozish kifoya:

Demak, xarakteristik tenglamaning invariantligi isbotlandi.
II BOB. TENZORNING XOS VEKTORLARI
Tenzorlarning xos vektorlari
Xarakteristik tenglamaning hamma yechimlari haqiqy va turli bo’lgan holni ko’raylik. Mazkur ildizlarni (1.67) va (1.68) tenglikka keltirib qo’ysak,
(2.1)
(2.2)
tenglamalarni olamiz. Ular, umuman olganda, turli va vektorlar uchligni aniqlaydi. Bu vektorlar T tenzotning bosh yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan bo’lib, tenzorning xos vektorlari deb ataladi. Xarakteristik tenglamalaning turli ildizlariga mos kelgan xos vektorlar o’zaro chiziqli erkli ekanligini ko’rsatamiz. Teskarisini, yani vektorlar o’zaro chiziqli bog’liq deb faraz qilamiz:

Bu tenglikni chap tomondan T tenzorga skalyar ko’paytirsak (2.1) munosabatlardan foydalansak,
(2.3)
Tenglikni olamiz. Shu amalni (3) ga qo’llab esa
(2.4)
tenglikni olamiz. Ushbu bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimlarga ega bo’lgani uchun uning determinant nolga teng bo’lishi kerak. Lekin bu determinant

bu yerdan Demak, vektorlar chiziqli erkli ekanligi kelib chiqadi. Shunga o’xshash vektorlar ham chiziqli erkli ekanligi ko’rsatiladi.
Endi va vektorlarning o’zaro munosabatlarini aniqlaymiz. Buning uchun (2.2) ni ga skalyar ko’paytirib (2.1) larni hisobga olsak, quyidagilarga ega bo’lamiz:


bu yerdan
(2.5)
ekanligi kelib chiqadi.
Bu yerda f- ixtiyoriy chegaralangan miqdor. Shu tufayli f=1 deb olsa bo’ladi. Unda (2.5) ga o’zarolik munosabatlari deb qaralsa, vektorlar uchlik vektorlar bo’ladi.