|
Levi-Chivita tenzori
Ta’rif: Ushbu
(1.44)
formulalar bilan aniqlanadigan tenzorlar Levi-Chivita tenzori deb ataladi.
Levi-Chivita tenzori yordamida (1.43) munosabat
(1.45)
ko’rinishida yoziladi. Shunga o’xshash kovariant komponentalar hosil qilgan determinantni quyidagi indeksli ifoda shaklida yozish mumkin:
(1.46)
Yuqorida ko’rganimizdek, to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida bo’lgani uchun
tenglik o’rinli, yani indekslarning yuqorida yoki quyida joylashtirishning farqi bo’lmaydi.
Diskriminant va Kevi-Chivita tenzorlari (1.39) ga ko’ra Yakobiani musbat bo’lgan almashtirishlar uchun kiritiladi. Quyda J<0 bo’lgan hollarni ham qarash mumkinligi ko’rsatiladi. Ortogonal dekart koordinatalar sistemasi ni sistemasiga va ni sistemasiga almashtirish matritsalarning determinantlariga binoan quyidagi ko’rinishga ega:
Determinantlarning hossasiga ko’ra ularning nisbati sistemani sistemaga almashtirish matrisasining determinanti – Yakobianga teng bo’ladi:
(1.47)
Levi-Chivita tenzorining komponentalarini almashtirish qoidasi (1.37) va (1.44) formulalarga ko’ra quyidagi ko’rinishga ega.
(1.48)
Xususan, va ortogonal dekart koordinatalar sistemalari bo’lsa, bo’ladi.
Demak, Levi-Chivita tenzori komponentalarini almashtirish formulasi yuqorida tenzorning komponentalari uchun berilgan formuladan J vazni bilan farq qiladi.
Ta’rif: Almashtirish formulalari vaznli bo’lgan, yani komponentalari
(1.49)
qoida bilan almashadigan ob’yektlar psevdotenzor deb ataladi.
Bu munosabat, xususan m=0 bo’lganda, tenzor komponentalarini almashtirish formulasi (1.44) ko’rinishida oladi. Demak, psedotenzorlar tenzor tushunchasini umumlashtirishdir.
1.3-§. Ikkinchi rang tenzorlar va matritsalar
2-rang T tenzor uchun quyidagi formulalar o’rinli:
(1.50)
Muayyan koordinata sistemasida 2-rang tenzorga to’rtta turli uchinchi tartibli kvadrat matritsalar mos keladi:
(1.51)
Bu tengliklarda hamma birinchi indekslar matritsa elementi joylashgan satrning, ikkinchilari esa – ustunning nomerini ko’rsatadi.
munosabatlarni hisobga olib, matritsalarni ko’paytirish qoidasini eslasak,
(1.52)
tenglik hosil bo’ladi. Shunday qilib, matritsalarning birontasi ma’lum bo’lsa, qolganlarini (1.52) dan foydalanib aniqlash qiyin emas.
2-rang tenzorlar uchun kiritilgan qo’shish, ko’paytirish, skalyar ko’paytirish amallariga mos kelgan amallar matritsalar uchun ham o’rinli. Bu esa matritsani hisoblash usullari va unda olingan natijalarni tenzor hisob nazariyasida ham qo’llash mumkinligini bildiradi.
Ma’lum bir koordinatalar sistemasida larning birortasi berilgan bo’lsa, (1.51) va (1.52) tengliklarga binoan shu sistemada T tenzor ham aniqlangan bo’ladi. Shunday qilib, 2-rang tenzorlar va uchinchi tartibli matritsalar orasida bir qiymatli moslik mavjud.
2-rang tenzorlarni simmetrik va antisimmetrik tenzorlar orqali ifodalash ham mumkin.
Ixtiyoriy 2-rang tenzorning kovariant komponentalarini simmetrik va antisimmetrik tenzor komponentalarining yig’indisi shaklida yozish mumkin:
(1.53)
Teorema: Har bir 2-rang tenzor uchun (1.53) ko’rinish yaggonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, yani (1.53) bilan birga
(1.54)
tenglik ham o’rinli bo’lsin. Bu yerda S-simmetrik esa antisimmetrik tenzorlar bo’lgani uchun (1.53) va (1.54) lardan quyidagilar hosil bo’ladi:
(1.55)
(1.56)
Bu tengliklarni chap va o’ng tomonlarini mos ravishda qo’shsak,
(1.57)
munosabat kelib chiqadi.
Endi (1.55) va (1.56) tengliklarni hadna-had ayirsak,
munosabat kelib chiqadi. Bu yerda
(1.58)
ekanligini ko’ramiz. (1.57) va (1.58) lardan esa (1.53) ko’rinishning yagonaligi kelib chiqadi. Shunday qilib, 2-rang T tenzor uchun yagona quyidagi ko’rinish o’rinli:
(1.59)
S va A lar (1.57) va (1.58) lardan formulalar bilan aniqlanadi. T, S, A tenzorlarning birinchi invariantlarini
deb belgilaylik. Qo’sh o’ram haqidagi teoremaga ko’ra antisimmetrik tenzorning birinchi invarianti
ekanligini topamiz. Bu yerdan va (1.59) formuladan
(1.60)
tenglik, yani tenzor va uning simmetrik qismining birinchi invariantlari teng ekanligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
