I bob. Tenzorlar ustida amallar

Tеnzorlarni bo’lish tеorеmasi.
Tеnzorning asosiy xususiyati - invariantlik uning komponеntalarini almashtirish qoidalari bilan aniqlanadi. Ammo biror bеrilgan miqdorning tеnzor ekanligini aniqlash uchun uning komponеntalarini almashtirish qoidalarini bajarilishini tеkshirish shart emas. Buning uchun quyidagi tеorеma bilan bеriladigan shartni tеkshirish kifoya.
Teorema( tenzorlarni bo’lish teoremasi): Biror koordinata sistemasida ta son-komponentalar yordamida T ob’yekt berilgan bo’lsin. Uni ixtiyoriy m-rang tenzorga ko’paytirib, so’ngra 2m indeksi bo’yicha yig’ishtirish amali bajarilganda rangli P tenzor hosil bo’lsa, mazkur T ob’yekt tenzor bo’ladi.
Teoremaga ko’ra T ob’yekt tenzor bo’lishi uchun ushbu (1.19) va (1.21) formulalar


yordamida hosil qilingan
(1.29)
sonlar rang tenzorning komponentalari bo’lishi kerak.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra P- tenzor. Shuning uchun so’nggi tenglikni “yangi” koordinata sistemasida yozish mumkin:

Bu munosabatning o’ng tomonida ni (1.29) dan foydalanib almashirsak va Q tenzor komponentalarini yangi koordinata sistemasida yozsak, ushbu

munosabatni olamiz. Bu yerdan Q ixtiyoriy tenzor bo’lgani uchun ushbu

Tenzor komponentalarini almashtirish qoidasi kelib chiqadi. Demak, teorema isbotlandi.
Tarif: Berilgan ikki P va Q tenzorlarning ko’paytmasi ni ixtiyoriy ikkita indeksi bo’yicha yig’ishtirish amali natijasida hosil bo’lgan tenzor qo’sh o’ram deb ataladi. Masalan,

ko’paytma uchun tenzor qo’sh o’ram bo’ladi.


1.2-§. Metrik va iscriminant teoremasi. Levi-Chivita tenzori.
Metrik tenzor. Nolinchi darajali tenzor sifatida (1.20) formula bilan berilgan

ob’yektni qabul qilib, uni metrik tenzor deb atagan edik.
G haqiqatan tenzor ekanligini aniqlash uchun

Munosabat yoki almashtirish formulalari o’rinli ekanligini ko’rsatish kerak. Buni formula bilan aniqlangan ning va koordinata sistemalaridagi quyidagi ko’rinishlaridan foydalanib, osonlik bilan ko’rsatish mumkin.

(1.30)
Agar ni asosiy kvadratik forma
(1.31)
koeffitsientlari sifatida qarab, ushbu 9 ta son koordinata sistemasida biror G ob’yektni aniqlaydi desak, mazkur ob’yekt ikkinchi rang tenzor ekanligini isbot qilingan teorema yordamida ko’rsatish mumkin.
Haqiqatan, differensiallar ixtiyoriy bo’lgani uchun ularning ko’paytmasi ixtiyoriy 2-rang T tenzorning komponentalari bo’ladi. Shuning uchun tenglikning o’ng tomonini TG ko’paytmaning ikkala indeksi bo’yicha yig’ishtirish natijasi deb qarash mumkin. Ikkinchi tomonidan bu yerda n=m=2 hamda tenglikning chap tomoni skalyar miqdor. Demak, mazkur teoremaning shartlari bajariladi va G 2-rang tenzor ekanligi kelib chiqadi. Uni indekslarni ko’tarish va tushirish amallari yordamida olinadigan ushbu
(1.32)
ko’rinishida yozish mumkin.
Ta’rif: (1.30) ga muvofiq koordinatalarning differensiallari orqali masofa differensialining kvadratini aniqlovchi simmetrik tenzor kovariant metrik tenzor deb ataladi.
Kovariant metrik tenzorning o’zaro bog’lanmagan komponentalarining umumiy soni ga teng bo’ladi.
Kovariant metrik tenzor komponentalaridan tuzilgan determinantni g orqali belgilaylik:

Taa’rif: Kovariant metrik tenzorga teskari bo’lgan simmetrik tenzor kontravariant metrik tenzor deb ataladi.
Kovariant va kontravariant metrik tenzorlarning determinantlarining ko’paytmasi birga teng bo’ladi.

Shunday qilib, dekart koordinatalar sistemasida metrik tenzorning bir xil indeksli komponentalari birga teng, har xil indeksli komponentalari nolga teng bo’ladi.
Metrik tenzorning xossalari
1. G- simmetrik tenzor. Bu xususiyat (1.29) dan kelib chiqadi.
2. Metrik tenzorning aralash komponentalari ixtiyoriy koordinatalar sistemasida Kroneker deltalarini beradi.
(1.33)
3. Ixtiyoriy P va G ning skalyar ko’paytmasi yana P tenzorni beradi:
(1.34)
ya’ni, metrik tenzor skalyar ko’paytirish amalida birlik tenzor rolini bajaradi. Masalan, P 3-rang tenzor bo’lsa, skalyar ko’paytirish formulasiga binoan olingan


munosabat (1.31) o’rinli ekanligini ko’rsatadi. Bu xususiyatdan G ning ixtiyoriy darajasi G ga teng ekanligi kelib chiqadi.
Diskriminant tenzor.
Biz avvalgi mavzularda bazis vеktorlarning vеktor ko’paytmasi kontravariant yoki kovariant bazis vеktorlarning yoyilmasi ko’rinishda ifodalanishini ko’rgan edik:

(1.35)
Bu tengliklardan birinchisining ikkala tomonini , ikkinchisini uchinsini esa vektorlarga skalyar ko’paytirsak, ushbu


(1.36)

munosabatlarga ega bo’lamiz. Dеmak, yoyilmalarning koeffitsiеntlarini almashtirish qoidasini aniqlash uchun bazis vеktorlarning aralash ko’paytmasini tеkshirish kifoya qilar ekan. Haqiqatan formulalardan foydalanib, ^ koordinatalar sistеmasida aralash ko’paytmalarning, masalan, birinchisini yozsak, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:


Demak, koordinata sistemasida berilgan ta sonlarning almashtirish qoidasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(1.37)
Bundan tеnzorning ikkinchi ta’rifiga ko’ra, 3-rang tеnzorning kovariant komponеntalari ekanligi kеlib chiqadi. Indеkslari boshqacha joylashgan va hokazo sonlar ham 3-rang tenzorning komponentalari ekanligi shunga o’xshash ko’rsatiladi. Indеkslarni ko’tarish va tushirish amali yordamida esa bazis vеktorlarning turli xil aralash ko’paytmalari hosil qiladigan barcha miqdorlar bir tеnzorning turli xil komponеntalari ekanligi oson isbot qilinadi.
Tarif: Quyidagi shaklda ifodalangan tenzor diskriminant tenzor deb ataladi.
(1.37)
Bazis vektorlarning aralash ko’paytmasini aniqlovchi, formulalardan va diskriminant tenzor komponentalarining ular orqali ifodasidan
(1.38)
munosabatlar o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, diskriminant tenzor uchala indeksi bo’yicha antisimmetrik bo’lib, uning ikkita indeksi bir xil bo’lgan komponentalari nolga teng, faqat barcha indekslari turli bo’lgan komponentalarigina noldan farqli bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, formulalarga ko’ra quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

Agar
(1.39)
deb qabul qilinsa va E ning (1.38) antisimmetriklik xususiyatlari e’tiborga olinsa, diskriminant tenzor komponentalari ushbu qoida bilan aniqlanadi:
agar sonli indekslar 1,2,3 dan toq o’rin almashtirish natijasida hosil qilingan bo’lsa:
, boshqa hollarda, yani ikki yoki uchala indeksi bir xil qiymat qabul qilsa.
Shunga o’xshash formulalarga binoan,

deb qabul qilsak va E ning (1.38) antisimmetrik xususiyatlarini e’tiborga olsak, diskrimnant tenzorning kontravariant komponentalari

qoida bilan aniqlanishi kelib chiqadi:
, agar sonli indekslari 1,2,3 dan juft o’rin almashtirish natijasida hosil qilingan bo’lsa;
, agar sonli indekslar 1,2,3 dan toq o’rin almashtirish natijasida hosil qilingan bo’lsa;
boshqa hollarda, ya’ni ikki yoki uchala indeksi bir xil qiymat qabul qilsa.
Diskriminanat tenzorlar vektor ko’paytmani va aralash ko’paymani (uchinchi tartibli determinantni) indeksli yozishda qo’llaniladi.
Masalan,

vektor ko’paytmaning kovariant komponentalarini
(1.40)
ko’rinishida yozilishi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi:

vektorning kontravariant komponentasi esa
(1.41)
shaklda yozilishi ham mumkin. Shunga o’xshash ( ) aralash ko’paytmani ham indeksli ko’rinishda, yani
(1.42)
tenglikning o’ng tomonidagi i,j,k, indekslar bo’yicha yig’indini ushbu

ko’rinishida ochib yozish mumkin. So’nggi tenglikda qavs ichidagi ifoda vektorlarning komponentalaridan hosil qilingan determinantga teng. Shuning uchun uchinchi tartibli determinantni indeksli belgilash qoidasini beruvchi quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi:
(1.43)