I bob qattiq jismlar 1-§. Qattiq jismlarning fizikasida asosiy tushunchalar

3.3-§.   Fermi−Dirak taqsimoti 
Fermi−Dirak taqsimoti spinga ega bo‘lgan zarrachalar (elektron, kovak) uchun 
ishlatiladi.  Bu  taqsimot  yarim  o‘tkazgichlarda  elektronlarning  (kovaklarning) 
energetik  sathlar  bo‘yicha  taqsimotini  aniqlash  bilan  birga,  har  qanday  yarim 
o‘tkazgichlarda  Fermi  sathini  aniqlashi  bilan  birga  Fermi  sathi  va  yarim 
o‘tkazgichlarning  asosiy  xossalari  o‘rtasidagi  bog‘lanishni  ko‘rsatadi.  Taqsimotni 
ko‘rishdan  oldin,  umuman  Fermi  sathi  nima  degan  savolga  javob  beraylik.  Fermi 
sathi  bu  –  metallarda  T=0K    bo‘lganda  elektronlar  bilan  band  bo‘lgan  oxirgi 
energetik  sathdir.  Bundan  kelib  chiqadiki,  Fermi  sathini  birligi  energiya  bilan 
o‘lchanar  ekan.  Fermi  sathidan  yuqorida  yotgan  sathlarda  elektronlar  bo‘lmaydi, 
pastkidagi  sathlar  elektron  bilan  to‘lgan  bo‘ladi.  Metallarda  erkin  elektronlar 
konsentratsiyasi undagi 1sm
-3
 hajmdagi atomlar soniga teng. Masalan, Au ni oladigan 
bo‘lsak  unda  1sm
-3
  hajmda  5·10
22
  erkin  elektron  mavjud.  Endi  bu  elektronlar 
energetik sathlar bo‘yicha qanday joylashgan. Buni bilish uchun oldin Pauli asosini 
hisobga  olish  kerak.  Bu  asosga  asosan  har  qandan  energetik  sathda  maksimum 
qarama-qarshi spinga ega bo‘lgan 2 ta elektron joylashishi mumkin. Agar metallarda 
elektron  konsentratsiyasi  n=5·10
22
sm
-3
  bo‘ladigan  bo‘lsa,  bu  elektronlar  joylashishi 
uchun, Pauli asosiga asosan 2,5·10
22
 energetik sathlar kerak bo‘ladi. Metallarda erkin 
elektronlar joylashgan eng pastki sath o‘tkazuvchanlik sohasining boshlanishidan to 
Fermi  sathigacha  bo‘lgan  energiylarni  5‚10  eV  atrofida  bo‘ladi.  Agar  bunday 
o‘tkazuvchanlik  sohasidagi  elektron  sathlar  orasidagi  energiyani  topsak 
∆E=10/2,5·10
22
=4·10
-22 
eV ga teng bo‘ladi. Bu shunday kichik energiyaki, metallarda 
o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektron sathlar shu sababli uzliksiz joylashgan deb qabul 
qilingan.  Ammo  yarim  o‘tkazgichlarda  erkin  elektronlar  soni  metallarga  nisbatan 
10
12
‚10
14
 marta kam bo‘lganligi uchun, ularda Fermi sathi tushunchasi va elektronlar 
taqsimoti  boshqacha  bo‘ladi.Fermi-Dirak  taqsimoti  quyidagi  formula  orqali 
ifodalanadi. 
   
 
           
     
    
      
Bunda  f-berilgan  haroratda  (T)  va  Fermi  sathi  (F)  aniq  qiymatga  ega  bo‘lgan 
holatda  har  qanday  energetik  sath  −  E  ning  elektronlar  bilan  band  bo‘lishi 
ehtimolligini  ko‘rsatadi.  Berilgan  energetik  sathning  kovaklar  bilan  band  bo‘lish 
ehtimolligi quyidagi formula bilan ifodalanadi:  
         
 
           
     
    
      
Bunda  g  −  aynish  koeffsiyenti  deb  ataladi.  Bu    koeffsiyent  donor  energetik 
sathlar uchun 1/2 ga, akseptor energetik sathlar uchun 2 ga teng. g ning fizik ma‘nosi 

---

 
45 
donor  kirishma  atomlarini  ionlashi  uchun,  faqat  aniq  spinga  ega  elektronni  ozod 
qilish  kerak,  ammo  uni  yana  neytral  holatga  kelishi  uchun  unga  2  xil  spinga  ega 
bo‘lgan  elektronni  xohlaganini  olish  mumkin.  Demak  g  −  ionlash  va  atomni 
neytrallash  uchun  kerak  bo‘lgan  elektron  spinlarning  nisbatini  ko‘rsatadi.  Yarim 
o‘tkazgichlarda  Fermi  sathini  qanday  aniqlash  mumkinligini  ko‘rsatishdan  oldin, 
yarim  o‘tkazgich  o‘tkazuvchanlik  sohasidagi  elektronlar  konsentratsiyasini  aniqlab 
ko‘raylik.  Buning  uchun  yarim  o‘tkazgich  o‘tkazuvchanlik  sohasidagi  elektronlar 
joylashishi  mumkin  bo‘lgan  sathlar  zichligi  degan  tushunchani  kiritamiz.  Albatta 
o‘tkazuvchanlik sohasi parabola shaklida bo‘lganligi uchun     N
C 
− qiymati energiya 
N(E)  ga  bog‘liq  bo‘ladi.  Yarim  o‘tkazgich  o‘tkazuvchanlik  sohasida  mavjud 
elektronlar konsentratsiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi: 
    ∫  
 
 
 
  
            ∫     
 
 
 
 
 
 
          (
     
   )
        
Bunda  E
co
−o‘tkazuvchanlik  sohasining  eng  quyi  energiyasiga  mos  energetic  sath,  
E
n
− esa o‘tkazuvchanlik sohasining eng yuqori energiyaga mos keladigan energetic 
sath.  Yarimo‘tkazgichda  erkin  elektronlar  konsentratsiyasi  o‘ta  kam  bo‘lganligi  va 
o‘tkazuvchanlik sohasi sathidagi energetic sathlar,  umuman band bo‘lmaganligi. 
 
 
    
   
 
 
  
 
 
 
 
 
⁄
       
Uchun  E
co
  ning  qiymati  hamma  vaqt  F  dan  ancha  katta  bo‘ladi.  U  holda 
o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar konsentratsiyasi quyidagiga teng bo‘ladi: 
     
 
   
 
 
 
  
  
       
xuddi shunday valent sohadagi kovaklar konsentratsiyasi 
     
 
      ( 
     
 
  
)       
Bunda: 
 
 
    (
   
 
 
  
 
 
)
 
 
⁄
,
 
 
    
   
 
 
  
 
 
 
 
 
⁄
,         (7) 
N
V
,N
C
 – valent va o‘tkazuvchanlik sohalaridagi energetik holatlar zichligi.