II BOB POTENSIYALAR NAZARIYASI
1.1 Potensiyalar. Kasr tartibli hosilalarning qo`yilishi
Agar ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) funksiyalar biror yopiq Vsohada uzluksiz va uzluksiz \xususiy hosilalarga ega bะพโlib, Vsohani chegaralovchi ๐ต sirt esa bะพโlakli-silliq bะพโlsa, Ostrogradskiy formulasi deb ataladigan quyidagi tenglik ะพโrinli bะพโladi.
โซโซโซV(๐๐/๐๐ฅ+๐๐/๐๐ฆ+๐๐
/๐๐ง๐๐ฅ) ๐๐ฆ ๐๐ง=
= โฏB(๐ cos ๐ผ + ๐ cos ๐ฝ + ๐
cos ๐พ )๐๐ต
bunda cos ๐ผ, cos ๐ฝ, cos ๐พ lar ๐ต sirtga ะพโtkazilgan ๐ birlik normalning yะพโnaltiruvchi kosinuslari.
Ostrogradskiy formulasi vektor shaklida quyidagicha ifodalanadi;
ะ(๐๐ต)= โฏ๐โ๐๐๐ต = โซโซโซV ๐๐๐ฃ๐ โ๐๐ฃ
Yaโni vektor maydoning yopiq ๐ต sirt bะพโyicha oqimi, uning divergensiyasidan ๐ต sirt ]chegaralab turgan V hajm bะพโyicha olingan integralga teng. Ostrogradskiy formulasini tadbiq qilish, kะพโpgina hollardda yopiq sirt bะพโyicha maydon oqimini hisoblashni soddalashtiradi. Xususan, bu formuladan solenoidal maydonning (๐๐๐ฃ ๐ = 0) har qanday yopiq sirt bะพโyicha oqimi 0 ga tengligi kelib chiqadi.Ostrogradskiy formulasi yordamida divergensiyaningmexanik maโnosini aniqlashimiz mumkin ๐0โ vektor maydon aniqlangan sohadagi tayinlangan nuqta, ๐ต- markazi ๐0 dabะพโlgan sfera bะพโlsin.
ะโrta qiymat haqidagi teoremaga kะพโra
โซโซโซV ๐๐๐ฃ๐๐๐ฃ = ๐(๐ต)๐๐๐๐ฃ๐(๐) ,
Bunda ๐ (๐ต ) โ ๐ต sfera bilan chegaralangan sharning hajmi, ๐ โ shardan olingan biror nuqta, bundan va Ostrogradskiy formulasidan
๐๐๐ฃ ๐(๐) =ะ(๐,๐ต)/๐(๐ต).
Bu tenglikda ๐ต sferaning s radiusini 0 ga intiltirib limitga oโtsak, divergensiyaning ๐0 nuqtadagi qiymati uchun
๐๐๐ฃ๐(๐0)= lim๐ โ0ะ(๐ , ๐ต)/๐(๐ต)
tenglik hosil bะพโladi. Bundan kะพโrinadiki, ๐ maydonning ๐0 nuqtadagi divergensiyasi, shu maydoning ๐0 nuqtaga kirayotgan (๐๐๐ฃ ๐(๐0) < 0 boโฒlganda) oqimning hajmi bะพโyicha zichligini anglatar ekan.
Chiziqli integral va vektor maydonning sirkulyatsiyasi.
๐(๐)vektor maydondan ๐ chiziq bะพโyicha olingan ๐ chiziqli integral deb, ๐(๐)
vektorning, ๐ chiziqqa ะพโtkazilgan ๐(๐) birlik urinma vektorga skalyar kะพโpaytmasidanolingan egri chiziqli integralga aytiladi:
๐ = โซ๐ ๐(๐) โ ๐ (๐)๐๐ =โซ๐ ๐๐๐,
bunda ๐๐ โ ๐ chiziq yoyi differensiali. Agar ๐ ๐ โkuch maydoni bะพโlsa
๐ =โซ๐ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐ = โซ๐ ๐๐๐ ,
bu maydonning ๐ yoโl bะพโylab bajargan ishini anglatadi.
Chiziqli integralning asosiy xossalari:
l. Chiziqlilik xossasi:
โซ๐ (๐1๐1+๐2๐2 )๐๐ =๐1โซ๐ 1๐11โ ๐๐ + ๐2 โซ๐ ๐2โ ๐๐
ll. Additivlik xossasi:
โซ๐๐๐=๐๐๐=โซ๐๐๐ ๐1+๐2 ๐ 1
lll. ๐ chiziqdagi yะพโnalish qarama-qarshiga ะพโzgartirilganda chiziqli integralning ishorasi qarama-qarshiga ะพโzgaradi:
โซ๐๐๐=โโซ๐๐๐ AB BA
Dekart koordinatalari sistemasida vektor maydon
๐ (๐) = ๐(๐) ๐ + ๐ (๐)๐ + ๐
(๐)๐
kะพโrinishida, radius vektorining differensiali esa
๐๐=๐๐ฅ๐ +๐๐ฆ๐+ ๐๐ง๐
Kะพโrinishida ifodalangani uchun
๐ = ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) ๐๐ฅ + ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) ๐๐ฆ + ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) ๐๐ง.
Integral x,y,z larni L chiziqdagi ifodalari bilan almashtirib hisoblanadi. Bunda parametr bะพโyicha aniq integral hosil bะพโladi. Bu integralni quyi chegarasi parametrning L chiziqning boshlangโich nuqtasidagi qiymatidan , yuqori chegarasi esa oxirgi nu qtasidagi qiymatidan iborat boladi .
C yopiq satr boyicha hisoblangan
๐(๐,๐) = โซc๐๐๐
chiziqli integral ๐ vektor maydonning C kontur bะพโyicha
olingan sirkulyatsiyasi deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |