I bob. Olimning professionallashuvi va mas’uliyat uyg’unligi

Kroneker-kapelli teoremasi yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usuli
Kroneker-kapelli teoremasi: Chiziqli algebraning asosiy teoremalaridan biri bo`lib, m noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning yetarli va zaruriy shartini ifodalaydi. Kroneker-kapelli teoremasi quyidagicha ifodalanadi:


………………………………..

Tenglamalar sistemasi hech bo’lmaganda bitta yechimga ega bo’lishi uchun sistema matritsasining (asosiy matritsa) rangi kengaytirilgan matritsaning rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Bunda sistemaning matritsasi deb, shu sistemaning noma’lumlari oldidagi keofitsiyentlaridan tuzilgan | || ( ), matritsaga aytiladi, kengaytirilgan matritsa deb esa keofitsiyentlar va ( ) ozod hadlardan tuzilgan matritsaga aytiladi.
Bu teorema uni isbotlagan nemis matematigi Kronekar va italyan matematigi Kapelli nomi bilan ataladi.
Yuqoridagi (1) tenglamar sistemasini Kroneker-kapelli teoremasi orqali yechimga ega yoki ega emasligini tenglamalar sistemasi matritsasini tuzib, asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglarini tekshirib bilib olamiz.
Sisteme matritsasi-quyida keltirilgan n noma’lumli m ta chiziqli tenglama sistemaning keofitsiyentlaridan tuzilgan matritsa:


Bu tenglamalar sistemasiga quyidagi Sisteme matritsasi mos keladi:

Endi yuqoridagi mulohazalarni (1) tenglamalar sistemasiga tadbiq qilamiz:
(1)
Sistema matritsasini tuzamiz.

Bunda A asosiy matritsa va B kengaytirilgan matritsa ranglarini topamiz. Mаtrisаning sаtr rаngini tоpish uchun sаtr elеmеntаr аlmаshtirishlаr bаjаrib, uni pоg’оnаsimоn mаtrisа ko’rinishigа kеltirаmiz. Elеmеntаr аlmаshtirishlаr nаtijаsidа bеrilgаn mаtrisаgа ekvivаlеnt mаtrisа hоsil bo’lаdi: birinchi ustun birinchi qator elementi 1 ni qoldirib, ikkinchi qator birinchi elementini 0 ga aylantiramiz. Buning uchun birinchi satirni o’zgartirmasdan -2 ga ko’paytirib, ikkinchi satrga qo’shamiz va natijani ikkinchi satrga yozamiz.

Natijadan ko’rinib turibdiki, r(A)=2. Ya’ni asosiy matritsaning rangi 2 ga teng.
Endi kengaytirilgan matritsani rangini elementar almashtirishlar bajarib, pog’onasimon matritsa ko’rinishiga keltiramiz: birinchi ustun birinchi qator elementi 1 ni qoldirib, ikkinchi qator birinchi elementini 0 ga aylantiramiz. Buning uchun birinchi satirni o’zgartirmasdan -2 ga ko’paytirib, ikkinchi satrga qo’shamiz va natijani ikkinchi satrga yozamiz

Pog’onasimon matritsa hosil bo’ldi. Natijadan ko’rinib turibdiki, r(B)=2. Ya’ni kengaytirilgan matritsaning rangi ham 2 ga teng. Xulosa qiladigan bo’lsak, r(A)=r(B). Demak, (1) tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng, ya’ni teoremaga asosan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega. Endi (1)ni yechimlarini topamiz. Buning uchun to’g’ridan to’g’ri pog’onasimon matritsa yordamida (1) sistemaga teng kuchli chiziqli tenglamalar sistemasini tuzamiz: