I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Chiziqli chegaraviy masala

I-BOB. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Chiziqli chegaraviy masala.
Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli

(1.1.1)

Tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi

formula bilan aniqlanar edi.Bunda lar kurilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.

(1.1.2)

differentsial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differentsial tenglama deyiladi. (1.1.2) ni ochib chiqsak.

bundan ko’rinadikim , o’ziga qo’shma differentsial tenglamada oldidagi koeffitsient oldidagi koeffitsientning hosilasiga tengdir.

Xossa-1 har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma differentsial tenglamaga keltirish mumkin .

(1.1.3)

differentsial tenglama berilgan bo’lsin .

(3) tenglamaning har ikkal tomonini ga ko’paytirganda,u o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga aylansin , ya’ni quyidagi shart bajarilsin .

Bundan

integrallasak

Bunda (6)

deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim

Misol. Bessil tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga keltiring .

Bu yerda

Bu Bessil tenglamasiga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamadir.

Xossa 2. kkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt

(8)

ko’rinishga keltirish mumkin

Bunda

Faraz etaylik ikkinchi tartibli differentsial tenglama o’ziga qo’shma holga keltirilgan bo’lsin . (9)

Bunda

almashtirishni olamiz.

(16) ga asosan

bo’lgani uchun

ga ega bo’lamiz .

B
unda t o’zgaruvchi x ning monoton o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi .Bundan chiqadikim, x ham t ning uzluksiz va differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida intervalga mos kelgan intervalda aniqlangan .

Uni

(10)

desak bajariladi.

U holda (11)

(11) ga asosan (9) (10) ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani

ko’rinishda yoza olamiz. Bunda

Misol .

Xossa 3. ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani ,noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida

ko’rinishga keltirish mumkin. (12)

tenglamada almashtirishni olamiz (13)

Bu qiymatlarni (12)ga qo’ysak

(14)

ixtiyoriy funksiya bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizkim

bajarilsin

bundan

Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak

Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi .Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamani hamma vaqt integrallash mumkin .Chunki bu holda (12) tenglama yo koeffitsientlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.

Misol.

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari.

Taqqoslash teoremasi .

Koeffitsientlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita tartibli

(1)

(2)

differentsial tenglamalar berilgan bo’lsin .

bunda

ma’lumki (1) tengalamaning xususiy yechimlari ,

dan iborat bo’lib

uning umumiy yechimi dan iborat,

uning nolini topamiz .
ya’ni (1) tengalamaning yechimi da 1 tadan ortiq nolga ega emas .tenglamaning umumiy yechimi

ning nolini topamiz :

ya’ni (2) tenglama oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib ,ketma-ket 2 ta nol orasidagi masofa ga teng

Uzunligi dan katta bo’lgan har bir oraliqda (2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining 1 ta noli yetadi ,uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa 2 ta noli yotadi .

Ta’rif. Agar differentsial tengalamaning yechimi berilgan oraliqda 1 tadan ortiq nolga ega bo’lmasa ,bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi .

Agar bu bu yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa , bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi .

Ma’lumki har qanday Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani

ni (3)

kurinishga keltirish mumkin .

1. Chegaraviy masalalar.

Chegaraviy masalaning qo’yilishi : agar ushbu

(4.2)
tenglama va

(7.28)
munosabatlari berilgan bo’lsa, (4.2) tenglamaning shu (7.28) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi .Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo’lib ,undan

i= 1 , 2 , . . . , n bo’lganda Koshi masalasi kelib chiqadi .

Agar n=2 bo’lib ,

(7.29)
Bo’lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig’i boshlang’ich y(x₀)=y₁ shartni qanoatlantirishi lozim bo’ladi . Yana , agar n=2 bo’lib
(7.30)

Bo’lsa ,bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy masalaning shartidan iborat .Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiluvchi (n=2)

(7.31)

Shart ham uchraydi.

2.Bir jinsli chegaraviy masala .
Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o’ynaydi .Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (7.28) munosabatlarda g_i funksiyalar o’z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holni ko’ramiz . aniqrog’i g_i funksiyalar quyidagi
(7.32)

(bunda ---- o’zgarmas ) ko’rinishda bo’lsin . Agar (i= 1, 2, . . . ,n) bo’lsa , qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar

Bo’lsa , u bir jinsli bo’lmagan masala bo’ladi .

n-tartibli chiziqli bir jinsli

L(p)y=0 (*)

tenglama va (7.32) chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin ,(*) va (7.32) munosabatlarni A_i =0 bo’lganda qanoatlantiradigan y(x) €C⁽ⁿ⁾ funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.

Ravshanki, har bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga ,ya’ni y(x)≡0,x€[x₀,x₁] yechimga ega .Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin .Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz .