I bob. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

1-misol. Ushbu



tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni = (2; 2) deb olib,uning aniq yechimi = (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.
Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi taqosslashishlarni , orttirmalarni esa deb, quyidagi jadval shaklida ifodalaylik:

k	xk	yk
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Bu natijalar shuni ko’rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi– verguldan keyin yettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkizta iteratsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini

boshlang’ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda
taqqoslanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekanligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham, bog’lanish ildizning yetarlicha yaqin atrofida o’rinli, bunda C o’zgarmas esa yetarlicha katta: C  5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko’payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samaradorligi pasayib borishini ko’rishimiz mumkin. Agar bir o’lchovli holatni qaraydigan bo’lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o’lchovli holda esa f_i (x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa f_i (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol. Quyidagi

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo’li bilan dastlabki yaqinlashish aniqlangan bo’lsin. U holda
, demak
(1.1.11) formulaga ko’ra

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,

ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi mathcad dasturi yordamida chizilgan grafiklardan ko’rish mumkin.

1.1.3 chizmada tenglama grafiklari keltirilgan.
3-misol.
Berilgan ushbu
Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari aniqlikda topilsin. Sistemaning ildizlarini grafik yordamida taqriban aniqlaymiz




1.1.4-chizmada. Tenglamalar grafiklari keltirilgan.
Chizmadan ko'rinishicha shu ildiz oraliqda yotadi. Boshlang'ich yaqinlashish sifatida olamiz.
Sistemani Nuyuton usulida yechish uchun


Endi soxada shartni bajarilishini tekshiramiz





Demak iteratsiya jarayoni yaqinlashadi.
aniqlik bilan yechimni aniqlash uchun zarur bo'ladigan iteratsiyalar soni



demak bajarilishi kerak bo'lgan iteratsiyalar soni Takomillashtirilgan Nyuton usuli.

Nuyuton hisob jarayoni (1.1.2) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa ni hisoblash zarurati noqulaylik tug’diradi. Agar matritsa izlanayotgan yechimning atrofida uzluksiz va boshlang’ich yaqinlashish izlanayotgan yechimga yetarlicha yaqin bo’lsa, u holda taqriban ushbu tenglikni o’rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni kamaytirib, quyidagi takomillash-tirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:

1.1.5 chizma Nyuton usuli modifikatsiyasining algoritmi.

, , (1.1.13)
Shuni ta’kidlaymizki, (1.1.12) va (1.1.13) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar va o’zaro mos keladi, ya’ni .
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 1.1.5 -chizmada

tasvirlangan):

1.  boshlang’ich yaqinlashish aniqlanadi.
2. matritsani hisoblaymiz.
3. (1.1.13) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz
4. Agar (1.1.12) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo’ladi va  (1.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 3-qadamga o’tiladi.

Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo’l bilan hisoblash mumkin bo’lmasa, u holda Nyuton usulini qo’llash murakkablashadi. Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan, nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi quyidagicha yoziladi: Ana shu yo’l bilan hisoblangan hosila qiymatlarini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo’llab,iteratsion jarayonlar hisobini oson-lashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matritsasi yomon shartlangan bo’lib qolishi ehtimolligi mavjud.

Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matritsasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.
Nyuton-Rafson usuli.
Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi.
Faraz qilaylik, (1.1) yoki (1.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Iteratsion formulani hosil qilishimiz uchun f = ( ) vektor-funksiya komponentalari bo’lgan funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tartibligacha hosilasini o’z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:

Bu yerda ; , (j=1,…n).
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko’rinishida quyidagicha yozish mumkin:

yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib yozish ham mumkin:
,
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, W = – Yakob matritsasi.
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, ni aniqlaymiz:
.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:
1. - boshlang’ich yaqinlashish va  - hisob aniqligi beriladi.
2. , (i=1,2,…,n) shartning bajarilishi tekshiriladi; agar u bajarilmasa, u holda 6-qadamga o’tiladi.
3. W – Yakob matritsasi hisoblanadi.
4. tenglamalar sistemasi yechiladi.
5. hisoblanadi va 2-qadamga o’tiladi.
6. x natijalar pechatga chiqariladi.
Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo’llanilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, W^-1 ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash mumkin. Faraz qilaylik, W^-1 – Yakob matritsasining k-iteratsiyadagi teskari matritsasi bo’lsin. (k+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:
.
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko’plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.