I-bob. Mulohazalar algebrasi formulalari

E s l atma. Mulohazalar algebrasidagidek, formulalar yozuvidagi qavslar sonini kamaytirish maqsadida, logik bog‘lovchilarni «kuchli bog‘lash» xossasiga qarab, «kuch»ining pasayishi tartibida quyidagicha joylashtirish mumkin
Mulohazalar hisobining aksiomalari 4 gruppaga bo‘linadi:

I gruppa aksiomalari
I.1. .
I.2. .

II gruppa aksiomalari
II.1. ,
II.2. ,
II.3. .
II gruppa aksiomalari
III.1. ,
III.2. ,
III.3. .
IV gruppa aksiomalari
IV.1. ,
IV.2. ,
IV.3. .

Eslatma. Ushbu aksiomalar sistemasi P.S.Novi­kov tomonidan kiritilgandir.
Shuni ham qayd qilamizki, har xil mulohazalar hisobi sistemalari mavjud bo‘lib, ular bir-biridan, odatda, aksiomalar sistemasining, aksiomalarda qatnashuvchi logik operatsiyalarning, keltirib chiqarish qoidalarining tanlanishi bilan fard kiladi.
Masalan, 1946 pili mashxur nemis matematiki va lo­giki D. Gilbert taklif etgan mulohazalar hisobi 4 ta aksiomadan iborat bo‘lgan sistemaga asoslangan bo‘lib, bu aksiomalarda fadat logik operatsiyalar qatnashadi. Gilberg aksiomalari quyidagilardir:

1. 
   ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   ,
   
4. 
   .
   

Bundai, tashdari, S. Klini, Dj. Rosser,S Meredit, G. Frege, Y. Lukasevich, Dj. Niko va boshkalar taklif etgan sistemalar ham keng tarqalgandir. Bulardan Dj.Rosser aksiomalari sistemasini ko‘rsatish bilan chegaralanamiz:

1. 
   ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   .
   

Keltirib chiqarish qoidalari quyidagilardir:
1°. O‘rniga qo‘yish qoidasi. A propozitsional o‘zgaruvchi, – ixtiyoriy formula bo‘lsin. U holda formuladan unga kirgan A propozitsional o‘zgaruvchini formula bilan almashtirish yordamida formula kel­tirib chiqariladi.
2°. Modus ponens (xulosa qilish qoidasi).
va formulalardan formulani keltirib chiqarish mumkin.
O‘rniga qo‘yish va Modus ponens qoidalarini mos ravishda quyidagicha belgilash mumkin:
; .
Ba’zan 1º o’rniga umumlashgan o’rniga qo’yish qoidasidan foydalaniladi.
3º. propozitsional o’zgaruvchilar, – ixtiyoriy formulalar bo’lsin. U holda formuladan unga kirgan propozitsional o’zgaruvchilarni mos ravishda lar bilan almashtirib, formulani keltirib chiqarish mumkin, ya’ni
.
va lar keltirib chiqarish operatorlari deyiladi.
2.3-ta’rif. 1) Har bir aksioma mulohazalar hisobida keltirib chiqariluvchi formuladir. 2) Agar – mulohazalar hisobida keltirib chiqariluvchi formula, A – propozitsional o‘zgaruvchi, esa ixtiyoriy formula bo‘lsa, u holda ham mulohazalar hisobida keltirib chiqariluvchi formuladir. 3) Agar va lar mulohazalar hisobida keltirib chiqariluvchi formulalar bo‘lsa, u holda ham mulohazalar hisobida keltirib chiqariluvchi formuladir.
Shunday qilib, mulohazalar hisobida dastlabki kel­tirib chiqariluvchi formulalar aksiomalardir, qolgan barcha keltirib chiqariluvchi formulalar aksiomalarga kel­tirib chiqarish qoidalarini qo‘llash natijasida hosil qilinadi.
2.1-misol. va ixtiyoriy formulalar bo‘lsa, u holda formula mulohazalar hisobida kelti­rib chiqariluvchi formuladir. Haqyqatan, ak­sioma bo‘lgani uchun keltirib chiqariluvchi formuladir (2.3- ta’rifning 1- punktiga asosan). U holda A propo­zitsional o‘zgaruvchini bilan, propozitsional o‘zgaruvchini bilan almashtirsak, u holda 2.3-ta’rifning 2- punktiga asosan keltirib chitsariluvchi formula hosil bo‘ladi.
2.4-ta’rif. Agar jumlalar hisobida keltirib chiqariluvchi formula (ya’ni aksioma yoki aksiomalardan keltirib chiqariluvchi formula) bo‘lsa, u holda ├σ ifoda « (aksiomalardan) keltirib chiqariluvchi formula» degan ma’noni bildiradi.