|
2.1. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi
Chegarasi S bo’lgan D sohada Laplas tenglamasi
(1)
Uchun Dirixle masalasining
(2)
taqribiy yechimi to’rlar usuli bilan topilsin
Bu holda
(3)
Ko’rinishga ega bo’ladi.
Q orqali D to’plamda yotuvchi to’rning shunday kvadratlari to’plamini belgilaymizki, ularning uchlaridan xech bo’lmaganda bittasi S dan avvaldan berilgan sondan katta bo’lmagan masofada yotsin.
Q ga kirgan kvadratlarning xar bir uchidagi u ning qiymatini shu uchiga eng yaqin turgan chegaraviy nuqtadagi izlanayotgan garmonik funksiyaning berilgan (2) funksiya qiymatiga teng deb xissoblaymiz (agarda bunday nuqtalar S da bir nechta bo’lsa, u holda ning bu nuqtalardagi berilgan qiymatlaridan birortasi ixtiyoriy tanlab olinadi va unga tenglashtiraladi). Bu bilan Q ga kirgan xamma tugun nuqtalarda u ning taqribiy qiymatilari ma’lum bo’ladi.
Endi Q ga kirmagan tugun nuqtalarda u ning toppish qoladi. Q ga kirmagan ichki tugun nuqtalar soni N ta bo’lsin. j – nuqtadagi u ning qiymatini orqali, xar bir tenglamadagi Q ga tegishli tugunlardagi u larning qiymatlari to’plamini orqali belgilab, ularni tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazib olsak, (3) Sistema
(4)
ko’rinishida yoziladi. (1-chizma)
(3) yoki (4) tenglamlar sistemasi hamma vaqt yagona yechimga ega bo’ladi.
Oliy algebradan ma’lumki, bir jinslibo’lmagan (4) sistemaning xar qanday lar uchun birdan – bir yechimga ega ekanligini ko’rsatish uchun unga mos bir jinsli
(5)
Sistema faqat trivial, ya’ni no’lga teng yechimga ega ekanligini ko’rsatish kifoyadir. Faraz qilaylik (5) Sistema no’lga teng bo’lmagan echimga ega bo’lsin, B orqali sonlardan eng kattasini belgilab olamiz. Farazimizga asosan B no’ldan katta. Umumiylikka ziyon yetkazmay B son lardan birortasi – B ga teng bo’lganda barcha larning ishorasi teskarisiga almashtirish natijasida avvalgi xolga keladi.
bo’lsin nuqtadagi ning qiymati to’rtta qo’shni tugun nuqtalaridagi qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga teng bo’lgan uchun bu qo’shni nuqtalaradagi
larning qiymati B dan kichik bo’la olmaydi, ning to’rtta nuqtadagi qiymatlari yeg’indising to’rtga bo’lingani B ga teng bo’lishi uchun ularning xar birida bo’lishi kerak. Bu qo’shni tugun nuqtalarning xar biriga qo’shni tugun nuqtalarga nisbatan xa, shunday mulohaza yuritish mumkin.
Bu jarayonni davom ettirib, barcha ichki nuqtalarda va bu nuqtalarga qo’shni bo’lgan Q tugun nuqtalarida xam bo’lishiga ishonch xosil qilamiz. U holda barcha lar bir vaqtda no’lga teng bo’lmay qoladi ( lar Q ning tugunlaridagi lar qiymatlarining kombinatsiyasini teskari ishorasi bilan o’ng tomonga o’tkazilganinga tengdir). Bu esa (5) tenglamalarning o’ng tomonlaari no’lga tengligiga qarama – qarshidir. Demak, bizning farazimiz noto’g’ri. (4) tenglamlar sistemasi yagona yechimga egadir. Agar (1) va (2) masalaning aniq yechimi bo’lsa , u holda ni yetarli kichik tanlab olib, h ni yetarli kichiklashtirish natijasida (3) sistemaning yechimi dan juda ham oz farq qilishini ko’rsatish mumkin.
Biz faqrning isbotini keltirmay, chekli ayirmalar tenglamalarning echish usullariga to’laroq to’xtalib o’tamiz.
Chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan echish juda ko’p noma’lumli algebraic tenglamlar sistemasini yechishga olib keladi. Bunday sistemani determinantlar nazaryasi usuli bilan yechish nihoyatda texnik qiyinchiliklarni tug’diradi. Shuning uchun ham ketma – ketlik yaqinlashish usuli bilan yechish anchagina qulay xisoblanadi. Avvalo larning ixtiyoriy qiymatini olamiz va bu qiymatlarni orqali belgilab, ularni (3) Sistema yechimiga no’linchio yaqinlashish deymiz. Keying yaqinlashishlarning toppish usulini bayon qilish uchun barcha lar to’rni mos tugunlarida yozilgan deb tasavvur qilish qulaydir.
Birinchi yaqinlashishni (3) ga asosan tuzamiz, yani birinchi tugun nuqtada ning qiymatini o’chirib, uning o’rniga birinchi tugun nuqtaga qo’shni bo’lgan to’rtta tugun nuqtalardagi lar qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga teng bo’lgan ni yozamiz. So’ngra ikkinchi tugun nuqtada yozilgan ning qiymatini o’chirib, uni son bilan almashtiramiz, bu son uchun xam to’rtta qo’shni nuqtalardagi qiymatlarining o’rta arifmetigi olinadi (bularda bittasi bo’lib qolishi ham mumkin) va h.k. Shunday yo’sindabarcha ichki tugun nuqtalarni aylanib o’tib, bularda (K=1,2,3,…,N) larning qiymatini topamiz. va lardan qanday topilgan bo’lsa, ikkinchi (K=1,2,3,…,N) yaqinlashishning qiymatlari ham lardan ham huddi shunday topiladi. Shu tarzda , ,… lar ham xosil qilamiz.
Agar (3) tenglamaning aniq yechimi bo’lsa, da barcha k (k=1,2,…,n) lar uchun
Buni isbot qilish uchun
deb belgilaymiz.
Biz da bo’lishini ko’rsatishimiz kerak. Avvalo shuni uqtirib o’tamizki, lar lardan qanday hosil bo’lgan bo’lsa , lar lardan xuddi shunday xosil bo’ladi, ya’ni lar k – tugun nuqtaga qo’shni bo’lgan bo’lgan to’rtta tugun nuqtadagi qiymatlarining o’rta arifmetik qiymatiga teng, shu bilan birga, agar qo’shni tugun nuqtalaridan bittasi chegaraviy nuqta yoki Q dagi tugun nuqtalar bilan ustma – ust tushsa, bu nuqtada no’lga teng bo’ladi. Shuning uchun , agar
Desak u holda birinchi tugun nuqtadaga qo’shni bo’lgan tugun nuqtalardan xech bo’lmaganda bittasi chegaraviy tugun nuqtada bo’lgani uchun
bo’ladi.
Xuddi shunga o’xshash
F
Shuningdek barcha n va k lar uchun
bo’ladi.
Xaqiqatdan ham, ohirgi tengsizlikni matematik induksiya usuli bilan isbotlaymiz . A bo’lsin, u holda
Bu yerda tugun nuqtaga qo’shni nuqtalardan biri chegaraviy yoki Q dagi nuqta bo’lib qolsihi e’tiborga olindi.
Oxirgi tengsizlikdan dan bo’lishi darxol kelib chiqdi. Nazariy jixatdan bu munosabat no’linchi yaqinlashishni ixtiyoriy tanlashda o’rinli o’rinli bo’ladi. Ammo amaliyotda bu yaqinlashish (3) sistemaning aniq yechimga yaqinroq bo’lishi uchun no’linchi yaqinlashish Dirixle masalasining aniq yechimidan katta farq qilamydigan sonlarni tanlab olish ma’qulroq bo’ladi.
Ketma – ket yaqinlashish jarayoni n ning shunday qiymatlarida uzulib qolsadiki, bunda larning qiymatlari n ning o’sishi bilan sezilarli o’zgarmay qoladi.
Bu lar (3) sistemaning taqribiy yechimi deb qabul qilinadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
