I bob. Hodisalar bog’liqsizligi 1-§. Shartli ehtimol. Hodisalar bog’liqsizligi

I BOB. HODISALAR BOG’LIQSIZLIGI

1.1-§. Shartli ehtimol. Hodisalar bog’liqsizligi

Ikkita A va B tasodifiy hodisalar birgalikda qaralayotgan ko’p hollarda quyidagi savol tug’iladi: bu hodisalar bir-biri bilan qanchalik bog’langan, ulardan birining ro’y berishi ikkinchisining ro’y berishiga qay darajada ta’sir qiladi.

Ikkita tasodifiy hodisa orasidagi eng sodda bog’lanishlar sababli bog’lanishlardir, ya’ni hodisalardan birining ro’y berishi albatta ikkinchisining ro’y berishiga olib keladi yoki bir hodisaning ro’y berishi ikkinchisining ro’y berishini inkor qiladi. Biroq, bunday chetki hollardan boshqa juda ko’plab oraliq hollar ham mavjud, ularda bir hodisa bilan ikkinchi hodisa orasida sabali bog’lanish bo’lmaydi, ammo qandaydir bog’lanish mavjud bo’ladi.

Misol: o’yin soqqasi tashlanadi. Juft ochkoning tushishi A hodisa, 3 dan katta ochkoning tushishi B hodisa bo’lsin. Bu hodisalardan birining ro’y berishi ikkinchisining ro’y berishiga olib keladi yoki, aksincha, ulardan ikkinchisini inkor qiladi deb tasdiqlashning noto’g’ri ekanligi ravshandir. Shu bilan birga A va B hodisalar orasida qandaydir bog’liqlik mavjud. Haqiqatdan ham, B hodisaga kirgan uchta elementar natijadan ikkitasi A hodisaga ham kiradi. Shuning uchun agar B hodisa ro’y bergan deb hisoblasak, A hodisannig ro’y berish ehtimoli bo’ladi. Ammo soqqa tashlashning natijasi haqida qo’shimcha axborot bo’lmagan holda bu ehtimol bilan hisoblanadi. bo’lgani uchun B hodisaning ro’y berishi A hodisaning ro’y berish ehtimoliga ta’sir ko’rsatishini tan olishga to’g’ri keladi.

Ba’zi hodisalarning boshqa hodisalarga bog’liqligini xarakterlash maqsadida shartli ehtimol tushunchasi kiritiladi.

1.1-ta’rif: (Ω, F, P) ehtimollik fazosi berilgan bo’lib, A va B lar ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Agar P(B)>0 bo’lsa, u holda A hodisaning B hodisa ro’y berganlik sharti ostidagi ehtimoli yoki oddiygina A hodisaning shartli ehtimoli deb

P(A B)/P(B)

songa aytiladi va P(A/B) kabi belgilanadi.

Shunday qilib, ta’rifga ko’ra



P(A) va P(A/B) sonlar A hodisaning ehtimolini ikkita har xil tajribaga nisbatan aniqlashini alohida ta’kidlab o’tamiz. Agar birinchi tajriba uchun elementar hodisalar fazosini Ω to’plam deb olsak, u holda ikkinchi tajriba uchun Ω ning B qism to’plami elementar hodisalar fazosi bo’ladi. Ehtimollar uchun o’rinli bo’lgan barcha aksiomalar va xossalar P(A/B) kattalik uchun ham o’rinlidir. Haqiqatdan ham, shartli ehtimolning ta’rifiga asosan, P(A/B)≥0 va P(B/B)=1 bo’lganligi sababli P1 va P2 aksiomalarning o’rinli ekanligi ravshan. Sanoqli additivlik aksiomasi ham o’rinli bo’ladi. Agar A₁, A₂,… lar B to’plamning juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to’plamlari bo’lsa, u holda

bo’ladi. Bundan

tenglikni hosil qilamiz.

Ta’rifdan

P(A B)=P(A/B)P(B)

Ekanligi kelib chiqadi. Agar P(A)>0 bo’lsa, u holda ushbu tenglik bilan birga

P(A B)=P(B/A)P(A)

Tenglik ham o’rinli bo’ladi. Bu tenglikni taqqoslab, biz hodisalarning ko’paytmasi ehtimoli

P(A B)=P(A/B)P(B)= P(B/A)P(A)

Ekanligini ko’ramiz.

Biz yuqorida P(A) va P(A/B) ehtimollar umumiy holda har xil ekanligini ko’rib o’tdik.

1.2-ta’rif. Agar P(A/B)=P(A) tenglik o’rinli bo’lsa, A hodisa B hodisaga bog’liq emas deyiladi.

Hodisalar bog’liqsizligi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar A hodisa B hodisaga bog’liq bo’lmasa, u holda B hodisa ham A hodisaga bog’liq bo’lmaydi. Boshqacha qilib aytganda A va B hodisalar bog’liq bo’lmaydi.
   
2. 
   A va B hodisalar bog’liq bo’lmasa, u holda va B hodisalar ham , A va hodisalar ham, va hodisalar ham bog’liq bo’lmaydi.
   

1.3-ta’rif: Agar B₁, B₂,…,B_n hodisalarning ixtiyoriy ikkitasi B_i va B_j (i j) uchun P(B_i B_j)=P(B_i)P(B_j) minosabat bajarilsa, u holda berilgan B₁, B₂,…,B_n hodisalar juft-jufti bilan bog’liq emas deyiladi.

1.4-ta’rif: agar B₁, B₂,…,B_n hodisalarning ixtiyoriy , …, (1 guruhi uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda B₁, B₂,…,B_n hodisalar birgalikda bog’liq emas deyiladi.

Shuni eslatib o’tish lozimki, hodisalarning birgalikda