I bob. Ekstremal masalalarni elementar usullar bilan yechish tengsizliklar yordamida yechiladigan ekstremal masalalar Kvadrat uchxad yordamida yechiladigan ekstremal

Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Tabiatshunoslikning bir qator masalalarini yechish ikki va undan ortiq o’zgaruvchili funksiyalarni eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Bunday masalalar ekstremal masalalar deb atalishini bundan oldingi bobda aytib o’tganmiz. Biz bu bobda ikki o’zgaruvchili funksiyani ektremal qiymatlarini topishga olib keluvchi masalalar bilan shug’ullanamiz. Buning uchun dastlab ikki o’zgaruvchili funksiyaning maksimumi va minimumi ta’riflarini keltiramiz.

1-ta’rif. Agar funksiyaning M0(x0, y0) nuqtadagi qiymati unga yetarlicha yaqin bo’lgan nuqtalardagi qiymatlaridan katta bo’lsa, u holda funksiya M0(x0, y0) nuqtada maksimumga ega deyiladi.

2-ta’rif. Agar funksiyaning M0(x0, y0) nuqtadagi qiymati unga yetarlicha yaqin bo’lgan nuqtalardagi qiymatlaridan kichik bo’lsa, u holda funksiya M0(x0, y0) nuqtada minimumga ega deyiladi.

Funksiyaning maksimum va minimumlarini uning ekstremumlari deyiladi.

 

z

x

y

1

2

-1

(x-1)2+(y-2)2-1

x

z

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Masalan, z=(x-1)²+(y-2)²-1 funksiya x=1, y=2 bo’lganda, ya’ni M(1, -2) nuqtada minimumga ega bo’ladi. Xaqiqatdan ham f(1;2)=(1-1)²+(2-2)²-1=-1 bo’ladi. Chunki x≠1, y≠2 bo’lganda (x-1)² va (y-2)² lari doimo musbat bo’lganligidan (x-1)²+(y-2)²-1>-1, ya’ni fx,y>f(1;2).

z=1/2-sin(x²+y²) funksiya x=0, y=0 bo’lganda, ya’ni O(0;0) nuqtada maksimumga ega. Xaqiqatdan ham f(0;0)=1/2. Agar biz x²+y²=π6 aylana ichida ixtiyoriy (x,y) nuqtani olsak, u holda 0 uchun sin(x²+y²)>0 bo’ladi. Shuning uchun f(x,y)=1/2-sin(x²+y²)<1/2 , ya’ni f(x,y(bo’ladi.