I bob. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

2.1.Eyler oshkor usulining yaqinlashishi.

Faraz qilaylik, y(x_i) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining x_i tugundagi yechimi, y_i – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund- agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu
_i = y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (26) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi xatoligi, ushbu
_i=y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (27) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar ham nolga intiladimi
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi- dagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [x₀, x₀+L] kesmada mavjud, yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x₀ x x₀+L tengsizlik bilan olingan kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan boʻlishi ham lozim:
f(x,y) M₁, barcha x [x₀, x₀+L] va y R lar uchun. (29) Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan
boʻlamiz:
f_x(x,y)  M₂, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (30)
f_y(x,y)  M₃, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (31) (29)-(31) formulalardagi M₁, M₂, M₃ oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik, y_i , y_i+1 – Eylerning oshkor usuli bilan x_i , x_i+1 tugun- larda topilgan toʻr yechimlar, y⁽ⁱ⁾ – (1) differensial tenglamaning grafigi (x_i
, y_i) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa- lasining yechimlari) boʻlsin.
y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning x_i+1 tugundagi y⁽ⁱ⁾(x_i+1) qiymati uchun toʻr yechimning ushbu
i+1 ^{= y(x}i+1^{) – y}i+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:

9-rasm.

Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qara-
layotgan qadami [x_i, x_i+1] kesmada izlanayotgan y yechim grafigining boʻlagini y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiri- ladi:
qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u oldingi x_i tugundagi y_i - toʻr yechim y(x_i) - aniq yechimdan farq qilishidan kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda y⁽ⁱ⁾ – yordam- chi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan y yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati nolga aylanardi). Shunga koʻra y_i va y(x_i) miqdorlar orasidagi farq algorit- mning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb ataladi. Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan.