I bob. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

1.2.Masalaning qoʻyilishi.

Koshi masalasi. Ushbu
birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning boshlangʻich shart bilan [x₀, x_n] kesmadagi yechimini toping.
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar
h = (x_n – x₀)/n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x₀, x_n] kesmadagi
x_i = x₀ + ih, i=0, 1, .., n
nuqtalardan foydalaniladi.
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:

xi	x0	x1	…	xn
yi	y0	y1	…	yn

yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla- nadi.
Berilgan tenglamani [x_i, x_i+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte- gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.

1.2.Eylerning oshkor usuli.

Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer- sial usuli tavsiflangan:

y(x) = f(x,y(x)), x₀ x x₀ + L, (1)
y(x₀) =  . (2)
bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.
Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x₀, x₀+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar- da (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x₀ nuqtada qoʻshimcha (bosh- langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x₀ , x₀+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x_*, y_*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).

1-rasm. 2-rasm

N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x₀ , x₀ + L] ni
h = L/N (3)
uzunlikli N ta boʻlakka
x_i = x₀ + ih, i = 0, 1, …, N (4) nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x₀, x₀+L] kesmadagi toʻr, x_i nuqtalar- ning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [x_i, x_i+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi:
N da h 0, (5)
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.
3-rasm.
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugun- laridagi y(x_i) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning x_i nuqtasida y(x_i) hosilaning yozilgan ushbu
y(x_i) = f(x_i, y(x_i)) (6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:
y(x_i h) y(x_i ) y(x_i1 ) y(x_i ) _{. (7)}
h h
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha Faraz qilaylik, _i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin:
y(x_i1 ) y(x_i ) _{y(x ) .
h} i i
Bu yerdan y(x_i) hosilani quyidagicha
_{y(x )} y(x_{i 1} ) y(x_i )
i _h i
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
^{y(xi 1 ) y(xi )} f (x , y(x ))
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(x_i) va y(x_i+1) miqdorlar qanoatlanti- radi.
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha
i = 0, 1, …, N–1
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda x_i+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan _i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(x_i) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x₀) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(x_i) miqdorni y_i deb bel- gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:
^{Yi 1 yi f (x , y )} , i = 0, 1, …, N-1. (9)
_h i i
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning yechimini ham oʻzgartiradi.
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu
y₀= (10)
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum y_i miqdorlarni topishning skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Ushbu
y₀, y₁, …, y_N
deyiladi.
Dastlabki x₀ tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni
y₀ =  = y(x₀), toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu
y_i y(x_i), i = 1, 2, …, N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.