I bob. Chiziqli tenglamalar sistemasi

8-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping .

Yechish. bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Xarakteristik tenglamasi ning ildizlari bo’lib, umumiy yechimi (*)

Berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning xususiy yechimini ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarni variatsiyalash usuli (2.4) yordamida izlaymiz.

va larning topilgan qiymatlarini (*) tenglikka qo’ysak:

, bunda va lar ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar. 1.

Sistemani yeching.

erilgan sistemaning 1-tenglamasini har ikki tomonini (-3) ga , (-2) ga, (-1) ga ko’paytirib mos ravishda 2-, 3-, 4- tenglamalariga qo’shamiz (bu bajarilgan elementar almashtirishlarni yuqoridagidek sxematik tasvirlaymiz) natijada berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemadagi 2- va 4- tenglamalarning o’rinlarini o’zaro almashtirib, unga ekvivalent bo’lgan (bu almashtirishni sxematik ravishda yuqoridagidek belgilaymiz)

Sistemani hosil qilamiz. Sxemada ko’rsatilgan elementar almashtirishni bajarib,

:3

sistemaga kelamiz. Bu sistemani 3-tenglamasini 3 ga, 4- tenglamasini (-3) ga qisqartirib (har ikki tomonini bo’lib) ularning o’rinlarini almashtirib yozamiz (sxematik belgilashga qarang)

Oxirgi sistemaning 4- tenglamasidan , ning bu qiymatini sistemaning 3- tenglamasiga qo’yib ni topamiz, larni bu qiymatlarini 2- tenglamaga qo’yib ni topamiz, larni bu topilgan qiymatlarini 1- tenglamaga qo’yib ni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona , , , yechilmaga ega.

2.

Sistemani yeching.

Bu sistemadan larni topamiz. Demak, berilgan sistema yagona nol yechilma ( ) ga ega .

3.

Sistemani yeching.

Demak, berilgan sistema yechimga ega emas.

4.

Sistemani yeching.

Oxirgi sistemani 3- tenglamasidan ni topib, 2-tenglamasiga qo’yib, . Bu topilgan lar qiymatlarini 1-tenglamaga qo’yib, ni topamiz. Natijada ga ega bo’lamiz, bu joyda ozod noma’lum , ga ixtiyoriy qiymatlarni berib, sisiemaning quyidagi jadvalda ifodalangan cheksiz ko’p yechilmalarini hosil qilamiz.

	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8 .
	3	4	2	3,5	13	-13	-3	0	5 ...
	6	8	4	7	26	-16	-6	0	10 ....
	0	1	-1	0,5	10	-16	-6	-3	2 ....