I bob. Chiziqli tenglamalar sistemasi

2.3 O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli tenglama xususiy yechimi

Bir jinsli tenglama xususiy yechimini topishning umumiy usuli ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarni variatsiyalash usulini ko’rsatamiz.

Agar berilgan tenglama 2-tartibli: (2.1) ko’rinishda bo’lsa, bir jinsli (2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.1) ko’rinishda bo’ladi.

(2.1) dagi va ni x ning hozircha noma’lum funksiyalari deb hisoblab, (2.1) tenglamaning xususiy yechimini (2.1) ko’rinishda izlaymiz.

(2.1) ni differensiallab: ni hosil qilamiz.

va funksiyalarni (2.2) tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz.

Agar bu qo’shimcha shartni e’tiborga olsak, u holda hosila: ko’rinishda bo’ladi. Endi bu ifodadan ni topamiz: .

larni(2.1)tenglamaga qo’yib, yoki tenglikni hosil qilamiz.

Birinchi ikkita qavs ichida turgan ifodalar nolga aylanadi, chunki va bir jinsli tenglamalarning yechimlari.

Demak, keyingi tenglik (2.3) ko’rinishga keladi.

Shunday qilib, va funksiyalar (2.2) va (2.3) tenglamalar sistemasini qanoatlantirsa, ya’ni (2.4) bo’lsa, (2.1) funksiya (2.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. Ammo bu sistemaning determinanti chiziqli erkli va funksiyalarning Vronskiy determinanti bo’lgani uchun nolga teng bo’lmaydi. Demak, sistemani yechib, va ni x ning ma’lum funksiyalari sifatida aniqlaymiz: , .

Integrallab, , tengliklarni hosil qilamiz, bunda va integral o’zgarmaslaridir.

va ning hosil qilingan ifodalarini (2.1) ga qo’yib,ikkita ixtiyoriy o’zgarmas va miqdorlarga bog’liq bo’lgan integralni, ya’ni bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz.

Agar berilgan tenglama n-tartibli: (2.5) ko’rinishda berilgan bo’lib, xususiy yechim (2.6) ko’rinishda bo’lib, (2.7) almashtirishlarni e’tiborga olinib, berilgan (2.5) tenglama yechimi topiladi.