I bap klassikalıq Shur teńsizligi 1 Dáslepki túsinikler hám belgilewler Vektor keńislikler

I BAP Klassikalıq Shur teńsizligi
1.1 Dáslepki túsinikler hám belgilewler
Vektor keńislikler. Associative hám kommutativ binar ámelge("qosıw") qarata tuyıq hám birlik elementke (nollik vektor, 0 arqalı belgilenedi) hám additiv keri elementke iye bolǵan obyektlerdiń(vektor dep atalatuǵın) kópligine maydan ústindegi vektor keńislik dep aytamız. Sonday-aq, bul kóplik tómendegi shártlerdi qanaatlandırıwshı, vektorlardıń skalyar maydannıń elementine "skalyar kóbeytiw" ámeline qarata tuyıq boladı: barlıq ushın, , hám multiplikative birlik element ushın orınlı boladı.
Berilgen maydan hám oń pútin san ushın hár bir koordinatası maydannan alınǵan koordinataǵa iye vektorlardıń kópligi maydanı ústinde koordinata boyınsha qosıw ámeline qarata vektor keńislik dúzedi. Biz keńisliginiń elementlerin bárhama baǵana vektor kóriniste ańlatamız; biz olardı kópshilik jaǵdayda -vektorlar dep ataymız. Biz bul dissertaciya jumisında hám vektor keńisliklerin qaraymız; bul haqıqıy vektor keńislik, hám haqıqıy hám kompleks vektor keńislik bolıp esaplanadı.
vektor keńisliginiń vektorlardı qosıw hám skalyar kóbeytiw ámellerine qarata maydan ústinde vektor keńislik dúzetuǵın úles kópligi onıń úles keńisligi dep aytıladı. Máselen, kópligi tiń úles keńisligi bolıp esaplanadı. Úles keńisliklerdiń kesilispesi jáne úles keńislik boladı; al, birikpesi bárhama úles keńislik bola bermeydi. hám úles kóplikleri barlıq waqıtta úles keńislik bolıp, kópshilik jaǵdayda trivial úles keńislikler dep ataladı.; nıń hám den basqa úles keńislikleri trivial bolmaǵan dep ataladı. keńisliginiń ózinen basqa úles keńisligi durıs(proper) keńisligi delinedi. keńisligin nollik keńislik dep ataymız. Vektor keńislikke barlıq waqıtta nollik keńislikke úles bolǵanlıqtan úles keńislik hesh waqıtta bos bolmaydı. Eger kópligi maydan ústindegi vektor keńisliginiń úles kópligi bolsa, bul ti óz ishine alıwshı nıń úles keńislikleriniń kesilispesi boladı hám onı sızıqlı qabıq dep ataymız. Eger bos bolmasa, onda ; eger bos bolsa, nıń hár bir úles keńisliginiń úlesi boladı. nıń barlıq úles keńislikleriniń kesilispesi bolǵanlıqtan anıqlama boyınsha . Itibar beremiz, barlıq waqıtta úles keńislik boladı, hátte úles keńislik bolmasa da; eger bolsa ti kórinisinde belgileymiz.
Meyli hám bolsın, onda ańlatpaǵa vektorlardıń sızıqlı kombinaciyası dep aytamız. Demek, keńisligi degi shekli sandaǵı vektorlardıń sızıqlı kombinaciyasınan ibarat eken. Eger bolsa , onda sızıqlı kombinaciyası trivial delinedi ; keri jaǵdayda, trivial emes delinedi. Anıqlama boyınsha, sızıqlı kombinaciya shekli sandaǵı vektorlardıń qosındısınan ibarat.
Meyli hám ler maydan ústindegi vektor keńisliginiń úles keńislikleri bolsın. keńisligine hám lardıń qosındısı deymiz. Eger bolsa, biz hám lardıń qosındısına tuwrı qosındı deymiz hám kóriniste jazamız; hár bir vektorı kóriniste birden bir usılda jazıladı.
Sızıqlı baylanıslılıq hám sızıqlı ǵarezsizlik. Eger barlıǵı bir waqıtta nol bolmaǵan lar bar bolıp, teńligin qanaatlandırsa, onda vektor keńislikten alınǵan shekli sandaǵı vektorlar kópligine sızıqlı baylanıslı deymiz. Demek, vektorlar kópliginiń bazı bir trivial bolmaǵan sızıqlı kombinaciyası nollik vektorǵa teń bolsa sızıqlı baylanıslı delinedi. vektorlar kópligi uzınlıqqa iye dep aytıladı. Eger eki hám onnan artıq vektorlardıń biri qalǵan bazı bir vektorlardıń sızıqlı kombinaciyası bolmasa, bul vektorlar sızıqlı baylanıslı boladı. Eki vektordıń biri ekinshisiniń skalyar kóbeymesine teń bolsa tek hám tek sonda ǵana bul eki vektor sızıqlı baylanıslı boladı. Tek ǵana nollik vektorlardan ibarat kóplik hám bolǵanlıqtan sızıqlı baylanıslı dep esaplanadı.
Eger maydan ústindegi keńisligindegi vektorlar kópligi sızıqlı baylanıslı bolmasa olar sızıqlı ǵarezsiz delinedi. Biz " vektorlar kópligi sızıqlı ǵarezsiz" atamasınıń ornına " sızıqlı ǵarezsiz" atamasın qollanıwǵa kelisip alamız.
Bazis. Sızıqlı ǵarezsiz vektorlardıń sızıqlı qabıǵı gá teń bolsa bul vektorlat ushın bazis dúzedi dep aytıladı. nıń hár bir elementi bazistegi vektorlardıń sızıqlı kombinaciyası sıpatında birden bir usılda kórsetiliwi múmkin. Eger daǵı vektorlar kópligi keńisliginiń basqa sızıqlı ǵarezsiz vektorlar kópligine durıs úles bolmasa, onda ol bazis delinedi. Bos kóplk nollik vektor keńislik ushın bazis boladı.
Ólshem. Eger sonday oń pútin sanı bar bolıp vektor keńisliginiń bazisi dana vektordan ibarat bolsa, onda vektor keńisliginiń hár bir bazisi vektordan ibarat boladı; bul sanǵa vektor keńisliginiń ólshemi deymiz hám kóriniste belgileymiz. Bul jaǵdayda shekli ólshemli; keri jaǵdayda sheksiz ólshemli dep ataymız.Sheksiz ólshemli bolǵan jaǵdayda eki bazis arasında óz-ara bir mánisli sáykeslik ornatıw múmkin. haqıqıy keńisligi ólshemine iye. vektor keńisligi maydanı ústinde ólshemge, biraq maydanı ústinde ólshemge iye. niń bazisin alayıq, bul jerde vektorı -koordinatası 1 ge qalǵanları nolge teń bolǵan vektor, bunday bazis standart bazis delinedi. ólshemli vektor keńisliktiń qálegen úles keńisligi shekli ólshemli boladı; eger durıs úles keńislik bolsa ólshemi qatań nen kishi boladı. Meyli shekli ólshemli vektor keńislik hám , ler berilgen eki úles keńisligi bolsın. Úles keńisliklerdiń kesilispesi haqqında lemma tómendegishe beriledi:
(1.1)
Bul teńlikti tómendegishe qayta jazamız:
(1.2)

bul jerde paydalı faktqa iye bolamız, eger bolsa, onda úles keńisligi eń keminde ólshemge iye boladı hám dana sızıqlı ǵarezsiz vektordı óz ishine aladı. Dara jaǵdayda, nollik bolmaǵan vektordı óz ishine aladı. Induksiyadan paydalansaq, eger lar nıń úles kóplikleri bolsa, hám bolsa, onda

(1.3)

hám bunnan keńislik dana sızıqlı ǵarezsiz vektorlardı óz ishine alıwı kelip shıǵadı; dara jaǵdayda, nollik bolmaǵan vektordı óz ishine aladı.

Eger hám vektor keńislikleri birdey maydan ústinde anıqlanǵan bolsın. Eger kerileniwshi funksiyası di qanaatlandırsa, onda funksiyasına izomorfizm delinedi, hám keńislikleri óz-ara izimorf (birdey strukturaǵa iye) delinedi.
Elementleri maydannan alınǵan kestege matrica dep aytıladı. Qatarları hám baǵanaları sanı teń bolǵan matricaǵa kvadrat matrica deymiz. Barlıq matricalardıń kópligi kóriniste belgilenedi, al, kópligi kópshilik jaǵdayda kóriniste belgilenedi. hám keńislikleri birdey dep esaplanadı. Eger bolsa, onda nı qısqasha kóriniste, al, ti kóriniste belgileymiz. Matricalar úlken latın háripleri menen belgilenedi, al, onıń elementleri kishi latın háripleri menen belgilenedi.
Sızıqlı sáwlelendiriwler. Meyli keńisligi -ólshemli vektor keńislik hám keń -ólshemli vektor keńislikleri maydan ústinde anıqlanǵan, diń bazisi hám nıń bazisi bolsın. Biz hám izomorfizmlerin sáykes túrde -vektor hám -vektorlardı súwretlewde qollanamız. teńligin qanaatlandırıwshı funksiyasına sızıqlı sáwlelendiriw deymiz, bul jerde hám . matricası sızıqlı sáwlelendiriwine tómendegishe sáykes qoyıladı: orınlı bolsa tek hám tek sonda ǵana orınlı boladı. matricası sızıqlı sáwlelendiriwdi ańlatadı dep aytıladı ( hám bazislerine qarata ); matricasınıń kórinisi tańlap alınǵan bazislerge baylanıslı boladı. Biz matricasın úyrengen waqıtta tańlap alınǵan baziske qarata sızıqlı sáwlelendiriwdi úyrenip atırǵan bolamız, biraq kópshilik jaǵdayda baziske ayrıqsha itibar beriw shárt bolmaydı.
Qálegen -ólshemli ústindegi vektor keńislik kóriniste anıqlanıwı múmkin; biz matricanı nen ge ótkeriwshi sızıqlı sáwlelendiriw sıpatında qarasaq boladı. Bul sızıqlı sáwlelendiriwdiń anıqlanıw oblastı ; onıń mánisler oblastı ; keńisligine matricasınıń boslıq keńisligi deymiz. matricanıń mánisler oblastı niń úles keńisligi boladı, al, boslıq keńisligi niń úles keńisligi boladı. nıń ólshemi arqalı belgilenedi; nıń ólshemi arqalı belgilenedi. Bul shamalar rank-nullity toreması arqalı baylanısqan