Huruh talabasi

Masalalar.
1-masala.Quyidagi X tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topamiz.
1 2 3
AgarX diskret tasodifiy miqdor bo‘lib, x , x , x ,...qiymatlarni mos ravishda
1 2 3
bo‘ladi:
p , p , p ,... ehtimollar bilan qabul qilsa, uning taqsimot funksiyasi quyidagicha
P( X  x)   pi
xi  x
Taqsimot funksiyasi quyidagi hossalarga ega. 1. 0  F(x)  1;
2.P(a  X  b)  F(b)  F(a)
1 2 1 2
3. Agar x  x bo‘lsa, F(x )  F(x );
4. F()  0, F()  1.
x
2-ta'rif. X uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining differensial funksiyasi yoki zichlik funksiyasi deb,
f (x)  F(x)
funksiyaga aytiladi.
Agar X uzluksiz tasodifiy miqdor f (x) zichlik funksiyaga ega bo‘lsa, uning
taqsimot funksiyasi
F (x)   f (t)dt

orqali aniqlanadi.
Zichlik funksiya quyidagi hossalarga ega:
f (x)  0 ;


 f (x)dx  1;
b
P(a  X  b)   f (x)dx.
a

• Agar x  0 bo‘lsa, F(x)  P{X  0}  0 ;
• Agar 0  x  1bo‘lsa,

15
F (x)  P{X  1}  P{X  0}  7 ;
15 15 15
3. Agar 1  x  2 bo‘lsa, F (x)  P{X  0}  P{X  1}  7  7  14 ;
15 15 15
4. Agar x  2 bo‘lsa, F (x)  P{X  0} P{X  1}  P{X  2}  7  7  1  1.
Demak,
15
0, agar x  0
7
, agar 0  x  1
F (x)  

1415, agar 1  x  2

1, agar x  2
2-masala.Yashikda 8 ta shar bo‘lib, 5 tasi oq va 3 tasi qora sharlardan iborat. Yashikdan tavakkaliga 3 ta shar olinadi. Agar X oq sharlar soni bo‘lsa, bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Echish: X tasodifiy miqdor 4 ta qiymatni qabul qiladi, ya’ni oq shar umuman chiqmasligi, yoki 1 ta oq va 2 ta qora, yoki 2 ta oq va 1 ta qora shar, yoki 3 tasi ham
oq shar chiqishi mumkin. Demak,

X

0

1

2

3

X	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

P

p1

p2

p3

p4

Bu ehtimollarni topamiz:
 
3
1
8
C3
C3
1
56
p  P X  0 

 
5 3
2
8
C1C2
C3
15
56
p  P X
 1 

 
5 3
3
8
C2C1
C3
30
56
p  P X  2 

 
5
4
8
C3
C3
10
56
p  P X
 3 


X	0	1	2	3
P	1 56	15 56	30 56	10 56

Taqsimotfunksiyasinitopamiz.
Echish. Ko‘rinibturibdiki,
x , 0
uchunXhodisamumkinbo‘lmaganhodisabo‘ladi, ya’ni
F(x)  0
Endi x 0,1 bo‘lsin, uholda
F (x)  P( X  x)  P( X  0)  1
56
Agar x 1, 2 bo‘lsa,
F (x)  P( X  x)  P( X  0)  P( X  1)  16
56
Agar x 2,3bo‘lsa,
F (x)  P( X  x)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  46
56
Huddishuningdek, x  3 bo‘lsa,
F(x)  P(X  x)  P(X  0)  P(X 1)  P(X  2)  P(X  3) 1.
Shunday qilib, F (x) taqsimot funksiyaning analitikifodasiniquyidagiko‘rinishdayozamiz.
,
 1
F (x)  16 ,
агар 1  x  2 бўлса
56
агар 0  x  1 бўлса
агар x  0 бўлса
56

1,
3-masala. X tasodifiy miqdor

0, агар x  0 бўлса
агар 0  x  1 бўлса
56

 46 ,
0,
x  1
1  x  3
x  3
бўлса,
1 1
F (x)   4 x  4 , агар
бўлса,

 1, агар
агар
бўлса

taqsimot funksiya bilan berilgan bo‘lsin. Sinash natijasida X tasodifiy miqdor (0; 2)
intervalga tegishli qiymatlarni qabul qilish extimolini toping.
Echish.
4 4
2
P(0  X  2)  F (2)  F (0)  1  2  1   1  0  1   1
 4 4 
 

2
4-masala. X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

0, агар x  0
0, агар x  
2

f (x)  cos x, агар 0  x 



F (x) taqsimotfunksiyanitoping.
Echish.
x
F (x)   f (t)dt

F(x)  0
formuladanfoydalanamiz. Agarx ≤ 0bo‘lsa, Demak,
x
F (x)   0dt  0

2
Agar 0<  bo‘lsa,

F (x)   0dt  cos tdt  sin x  0

x x
0 2 x

F (x)   0dt   cos tdt   0dt  1

2

2
 0 0
Demak,izlanayotgantaqsimotfunksiyasiquyidagiko‘rinishgaegabo‘ladi.

0, агар x  0

F (x)   n x, агар 0  x 
si


1, агар x 

5-masala.X uzluksiz tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiyaga ega.

0, агар x  0
3
3
3
f (x)   2 cos x, агар 0  x  



 
0, агар x 

 6 4 


X tasodifiy miqdorning   ;   intervalga tegishli qiymatni qabul qilish
ehtimolini toping.
Echish.
b
a
P(a  X  b)   f (x)dx
4
2
2
2 1
P(  X   ) 
6 4
3
formuladanfoydalanamiz.


6
3
 
cos xdx  (sin  sin ) 
3 4 6


Agar x  bo‘lsa,
2
6-masala. Xtasodifiymiqdorquyidagitaqsimotfunksiyabilanberilgan.
0, агар x  0
F (x)  x, агар 0  x  1
1, агар x  1


To‘rttaerklitajribanatijasidaXtasodifiymiqdorningrosa 3 marta (0,25;0,75) oraliqdayotadiganqiymatlarniqabulqilishehtimolinitoping.
Echish. P(a  X  b)  F(b)  F(a)
formuladanfoydalanamiz.
P(1  X  3)  F ( )  F ( )
3 1  3  1  1
4 4 4 4 4 4 2
Xtasodifiy miqdorningrosa 3
marta
(0,25;0,75)
topish uchun Bernulli
oraliqdayotadiganqiymatlarniqabulqilishehtimolini formulasidan foydalanamiz.
3 1


4
1
1
 4  1  1  1
8 2 4
2 2

 

P (3)  C3
4    
   