Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги Қарши давлат университети

 

 

2. ИККИ ВЕКТОР ОРАСИДАГИ БУРЧАК  

 

 

Икки  векторнинг  скаляр  кўпайтмасини  иккинчи  бир  формуласи  

a

а

а

а

cos







  дан  иборат.  Унда  у  берилган  векторлар  орасидаги  бурчак.  У 

ҳолда  

в

a

в

a

a







cos

 

 бўлади. Агар бу векторлар координаталари билан берилган бўлса, яъни (х, у, 

z), 





1

1

1

,

,

z

у

х

в

   бўлса у ҳолда  

1

1

1

zz

уу

хх

в

а









 

12

12

12

2

2

2

в

     

          

          

          

,

z

у

х

z

у

х

а













 

Формулалардан фойдаланиб, векторлар орасидаги бурчак косинусини топиш 

учун ушбу формулаларни ҳосил қиламиз.  

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28 

12

12

12

2

2

2

1

1

1

cos

z

y

x

z

y

x

z

z

y

y

x

x

























 

 

Мисол: 









2

,

2

,

1

в

       

          

1

,

0

,

1





a

  векторлар орасидаги бурчакни топинг.  

 

0

2

2

2

2

2

2

45

:

1

1

2

3

3

2

2

1

1

0

1

2

1

2

0

1

1

cos





























у

  

 

Агар 

а

ва 

в

  векторлар  перендикуляр  бўлса,  у  ҳолда  улар  орасидаги 

бурчак  90

0

  га  тенг  ва  cos  90

0

=0    демак,  бундай  векторлар  учун  скаляр 

кўпайтма  нолга    тенг: 





0

   

,

0

    

0









а

в

а

.  Аксинча,  агар  икки  векторнинг 

скаляр  кўпайтмаси  нолга  тенг  бўлса,  у  ҳолда 

0,

       

,

0





а

            бинобарин, 

,

0

cos





 яъни векторлар перпендикуляр.  

Шундай қилиб, иккита нолмас   

а

 ва 

в

 векторларнинг скаляр  

кўпайтмаси нолга тенг, яъни  

0





в

а

 ёки 

0

1

1

1













z

z

y

y

х

х

  

бўлганда ва фақат шундагина улар перпендикулярдир.  

 

Мисол: Параллеллограмнинг учлари берилган. А (1,2,2), В (1,4,0), С (-

4,1,1,),  Д  (-5,-5,3).  Унинг  АС  ва  ВД  диоганаллари  перпендикулярлигини 

исботланг.  

 

АС

   ва 

КД

 векторларни қараймиз.  

 



 



1

,

3

:

5

2

1

,

2

1

,

1

,

4

















АС

 

 



 



3

,

9

,

6

0

3

,

4

5

,

1

5



















КД

 

 

Бу векторларнинг скаляр кўпайтмасининг формуласидан  

 

 

   

   

0

3

1

9

3

6

5

























ВД

АС

 

 

Демак, 

АС

 ва 

ВД

 экан.  

 

 

6-МАВЗУ: ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР ВА АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ. 

ИККИ НУҚТА ОРАСИДАГИ МАСОФА, КЕСМАНИ БЕРИЛГАН 

НИСБАТДА БЎЛИШ  

 

1. ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР ВА АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ  

 

 

Бизга 





z

у

х

а

,

,

  ва 





1

1

1

,

,

z

у

х

в

  векторларнинг берилган бўлсин. Ушбу  

















1

1

1

1

1

1

y

 

y

 

,

 

z

 

z

 

,

 

 

x

x

x

x

z

у

z

у

  

29 

 вектор   

а

 ва 

в

 нинг вектор кўпайтмаси дейилади ва 

 

в

а 

каби белгиланади.  

 

Демак 

 



в

 

а

















1

1

1

1

1

1

y

 

y

 

,

 

z

 

z

 

,

 

 

x

x

x

x

z

у

z

у





1

1

1

1

1

1

,

,

yx

xy

zx

zx

zy

yz









 

 

Вектор кўпайтмаси хоссалари   

 

1

0

. 

   

а

а

 

в

в

 



 

 

2

0

. 

   

 

   

R

      

          

          

          

          

          

 

а

 

в

 

в

 

 

















в

а

в

а

а

 

 

3

0

. 







    

а

 

в

 

в

а

с

в

a







 

 

     









   

с

 

с

 

в

а

с

в

a







     

 

 Бу  хоссаларнинг  исбот  вектор  кўпайтмасининг  таътифидан  бевосита 

келиб чиқади. 

 

 

0



ав

  бўлиши учун  

а

 ва 

в

 нинг коллинлар бўлиши зарур ва етарли.  

а

  ва 

в

  векторлар  берилган  бўлсин   

а

  ва 

в

  вектор  кўпайтмаси 

 

в

 

а

нинг 

қиймати 6-чизмада тасвирланган параллелограмми юзи  

   



sin







в

a

S

 га тенг.  

 

 

ЧИМА ЖОЙИ 6-ЧИЗМА   7-ЧИЗМАРАР 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аралаш кўпайтма параллелипипед ҳажмига тенг  









h

S

a

c

S

a

с

в

а

с

в

а





















cos

cos

 

 

с

в

a

V









 

 

 

 

 

 

       а) 

   

с

в

a

с

в

а











 

 

б) 

Аралаш 

кўпайтма  кўпайтувчиларнинг  ўринларини 

ўзаро 

алмаштиришдан ўзгармайди.  

 

      

 

30 

в

 

 

с

 

 

 

с

 

в

с

 

в

 

а

а

а





 

 

в) Икки қўшиш кўпайттувчининг ўрни алмаштирилганда аралаш 

кўпайтма ишорасини тескарисига алмаштиради.  

а

а

 

с

 

в

с

 

в

 



  

 

Аралаш кўпайтма детерминат бўйича ҳисоблаш  

 

 













 

,

,

          

,

,

,

       

,

,

,

к

у

х

к

у

х

к

у

х

с

с

с

с

в

в

в

в

а

а

а

а

 

 

 

к

у

х

к

у

х

к

у

х

с

с

с

в

в

в

а

а

а

с

а



 

в

 

 

 





0





с

в

а

 бўлса, векторлар комилинлар дейилади.  

 

 

























с

в

в

а

а

в

в

а

а

в

в

а

а

а

с

у

с

у

с

у

с

у

с

у

с

у

,

в

  

 

z

с

у

с

у

у

с

у

с

у

с

у

с

у

с

в

в

а

а

с

в

в

а

а

с

в

в

а

а

























1

 

Бизга учта 

в

a,

 ва 

с

 векторлар берилган бўлсин. Ушбу 

 

с

ав  

 ифода 

,

,

,

с

в

а

 

векторларнинг аралаш кўпайтмаси дейилади ва 

 

с

в

а  

,

 каби белгиланади.  

 

Мисол: Ушбу 













2

,

1

,

0

с

          

1

,

0

,

2

в

        

0

,

3

,

1







а

  векторланинг аралаш 

кўпайтмасини топинг.  

 

Аввало 

 

в

 

а

  ни топамиз. 

 



 



6

,

1

,

3

2

3

-

0

1

  

1,

1

-

2

0

  

,

0

0

1

3

в

 























а

   

 

 

 

 

 

   







13

2

6

1

1

0

3

0,1,2

 

6

,

1

,

3

 

 























с

в

а

 

 

 

2. ИККИ НУҚТА ОРАСИДАГИ МАСОФА  

 

Текисликда декарт координаталари  системаси берилган бўлсин.  Бу 

текисликда А ва В нуқталарини олайлик. Уларнинг координаталари мос 

равишда 



 



2

2

1

1

,

  

,

,

у

х

у

х

  бўлсин:  



 



2

2

1

1

,

 

В

  

,

,

у

х

у

х

А

А



 

 

 

31 

 

Масала:  А  ва  В  нуқталарнинг  координаталарига  кўра  шу  нуқталар 

орасидаги масофани, яъни АВ кесманинг узунлигини топининг   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8- 

чизма  

       А 

ва  В  нуқталаридан  Ох  ўқига  перпендикуляр  туширамиз.  

уларнинг 

асосларни 

А

1

 

ва 

В

1

 

билан 

белгилаймиз. 

Равшанки  

 

 

1

          

          

В

       

          

АА

     

          

ОВ

    

          

2

1

1

1

2

1

1

1

у

у

х

х

ОА









 

 

А нуқтадан Ох ўқига параллел чизма ўтказамиз.  

Унинг ВВ

1

 билан кесишган нуқтасини С билан белгилаймиз. Унда 

АС = А

1

В

1

СВ

1

=АА

1

                                  (2) 

 

Бўлади. Агар  А

1

 В1  =  ОВ

1

-ОА

1

,  ВС=ВВ

1

-СВ

1

  эканини  эътиборга олсак,   (1) 

ва 

(2) 

муносабатлардан  

 

 

АС=x

2

-x

1

,           ВС=у

2

у

1

                                       (3) 

Келиб чиқади.  



АСВ- тўғри бурчакли. Пифагор теоремасига биноан АВ

2

=АС

2

 бўлади. (3) 

муносабатдан фойдаланиб 



 



2

1

2

2

1

2

2

у

у

х

х

АВ









    тенгликни ва ундан эса  



 



 

4

   

          

          

          

          

          

2

1

2

2

1

2

у

у

х

х

АВ









 

бўлишини топамиз. Бу икки нуқта орасидаги масофани ифодалайди.  

хусусан А ва В нуқталар абцисса ўқида бўлса, А (х

1

,0),   В (х

2

, 0) бўлиб, улар 

орасидаги масофа    





  

1

2

2

1

2

х

х

х

х

АВ









 бўлади. А ва В нуқталар ордината 

ўқида бўлса, 





  

1

2

2

1

2

у

у

у

у

АВ









 бўлади.  

Агар А ва В нуқталардан бири координата бошида бўлса, 

2

2

2

2

у

х

АВ





  

бўлади.  

 

Мисол. А (5, 3) ва В (2, -1) нуқталар орасидаги масофани топинг 

 

 

 



 



5

16

9

3

1

5

2

2

2

















АВ

    

Худди шунингдек фазодаги А (х

1

, у

1

, z

1

) ва  В (х

2

, у

2, 

z

2

) нуқталар орасидаги 

масофа  



 

 



2

1

2

2

1

2

2

1

2

z

z

у

у

х

х

АВ













 формула билан ҳисобланади.  

32 

3. КЕСМАНИНГ БЕРИЛГАН НИСБАТДА БЎЛИШ.  

 

 

Текисликда А (х

1

, у

1

) ва В (х

2

, у

2

)  нуқталарни тутуштирувчи АВ тўғри 

чизиқ кесмасини қарайлик. Бу кесмада С нуқта топиш керакки АС кесманинг 

СВ кесмага нисбати берилган 



  сонга тенг бўлсин.  

 

 

 

5

      

          

          

          

          

          

          

          





СВ

АС

 

Изланаётган  нуқтанинг  координаталарини  х  ва  у  дейлик  С  (х,у).  Демак 

масала  

А  ва  В  нуқталарнинг  координаталари  ва  ух  ни  топишдан  иборат.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9- чизма  

А

1

В

1

С

1

 нуқталаридан Ох ўқига перпендикуляр тўғри чизиқлар туширамиз. 

Унда ОА

1

=х

1, 

ОС

1

=х

,

 ОВ

1

=х

2 

 ,АА

1

=у

1

 ,СС

1

=у

1

, ВВ

1

=у

2

 бўлади. Сўнг А ва С 

нуқтадан Ох ўқига параллел чизиқлар ўтказамиз. Уларнинг СС

1

 ҳамада ВВ

1

 

билан кесишган нуқталарини Д ва Е дейлик.  

 

          

у

ЕВ

х

х

ОА

ОС

С

А

АД















1

1

1

1

1

1

1

СС

          

          

          

          

 

 

  

у

ДС

АА

     

          

          

          

-

1

1

1

1

1

1

1

1













х

х

ОС

ОВ

В

С

СЕ

     (6) 

 

у

у

ЕВ

у

у

ДС

СС

СД

















2

1

1

1

1

1

ВВ

ВЕ

 

          

          

          

          

,

 

АДС ҳамда СЕВ тўғри бирчакли учбурчакларнинг ўхшашлигидан  

СВ

АС

СВ

АС

СЕ

АД





ВЕ

СД

   

,

бўлишини топамиз. Агар (5) ва (6) тенгликлардан 

фойдалансак 















х

х

х

х

х

2

1

2

1

у

у

-

у

    

          

 келиб чиқади.  

 

Демак 

































1

у

у

-

у

      

          

          

          

1

2

1

2

1

2

1

у

у

у

у

х

у

у

у

х

х

х

х

х





 

шундай қилиб, АВ кесманинг 



  нисбатда бўлувчи С нуқтанинг 

координаталари  

,

1

        

,

1

2

2





















у

у

у

х

х

х

  

формула бўйича топилади.