Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

4.2. To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari.
1-teorema. Kompakt to‘plam chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. M kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz
qilamiz. M dan ixtiyoriy x
1
nuqtani olib, radiusi r
1
=1 ga teng S(x
1
,r
1
) sharni
ko‘ramiz. M chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘la joylashgan bo‘lmaydi.
M to‘plamning S(x
1
,r
1
) sharga kirmagan biror x
2
elementini olamiz. U holda
ρ
(x
1
,x
2
)
≥
r
1
. Co‘ngra radiusi r
2
=
ρ
(x
1
,x
2
)+1 ga teng S(x
2
,r
2
) sharni qurib, M
to‘plamning bu sharga kirmagan x
3
elementini olamiz. Bunday element mavjud,
chunki M chegaralanmagan to‘plam va
ρ
(x
1
,x
3
)
≥
r
2
. Bu jaryonni cheksiz davom
ettiramiz. Natijada {x
n
} (x
n
∈
M) ketma-ketlik va o‘sib boruvchi {r
n
} sonli ketma-
ketlik hosil bo‘lib, ular uchun ushbu

ρ
(x

1
,x
n
)+1 = r
n
> r
n-1
(n=1,2,
…
)
tengsizliklar bajariladi.
Endi
ixtiyoriy
n>m
≥
2 natural sonlar uchun
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ρ
(x
1
,x
n
)+1 = r
n
> r
n-1
≥
r
m
;
ρ
(x
1
,x
m
)+1 = r
m
munosabatlar o‘rinli. Bulardan va quyidagi
ρ
( x
1
,x
n
)
≤

ρ
(x

1
,x
m
)+
ρ
(x
m
,x
n
)
tengsizlikka asosan ushbu
r
n

≤
r

m
+
ρ
(x
m
,x
n
),
demak,
ρ
(x
m
,x
n
)
≥
1 munosabat kelib chiqadi.
Oxirgi
tengsizlikdan
{x
n
} ketma-ketlikning o‘zi ham va uning biror qismi
ham fundamental bo‘la olmasligi, ya’ni yaqinlashuvchi bo‘la olmasligi kelib
chiqadi. Bu esa M to‘plamning kompaktligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.

Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas. Masalan, l

2
fazoda
e
1
=(1, 0, 0, 0,
…), e
2
= (0, 1, 0, 0,
… ), e
3
= (0, 0, 1, 0,
… ), . . .
elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning
ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa
ρ
(e
m
,e
n
)=
2
ga teng (m
≠
n). Shuning uchun bu
ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi, demak,
tuzilgan to‘plam kompakt emas.