Тўр ва тўр функциялар. Ҳар хил соҳаларда тўр қуриш

2-мисол. .
Иккинчи тартибли ҳосилани айирмали аппроксимациялашда нуқтадан, яъни уч нуқтали шаблондан фойдаланиш мумкин. У ҳолда
. (1.33)
нуқтада ўнг айирмали ҳосила нуқтадаги чап айирмали ҳосилага тенг эканлигини, яъни ни эътиборга олсак, (1.33) ни қуйидагича ёзиш мумкин
. (1.34)
функцияни Тейлор қаторига ёйиб, аппроксимация хатолигининг тартиби иккига тенглигини, яъни

эканлигини кўрсатиш мумкин.
3-мисол. .
нуқталардан иборат шаблонни танлаймиз ва ни аниқлаймиз. ни (1.33) формуладаги ифодасидан фойдаланиб, учун қуйидагига эга бўлиш мумкин:
. .
айирмали оператор дифференциал операторни
.
иккинчи тартиб билан аппроксимация қилишини кўрсатиш мумкин. Бунинг учун Тейлор қаторининг

ёйилмасидан лар учун фойдаланиб ва йиғинди фақат жуфт даражалардан иборат эканлигини ҳисобга олинса, учун юқорида келтирилган формулага эга бўлиш мумкин.
Аппроксимация хатолиги ни даражалари бўйича Тейлор қаторига ёйишдан аппроксимация хатолиги тартибини оширишда фойдаланиш мумкин. Ҳақиқатдан ҳам,
.
Агар нуқталардан иборат шаблонда

айирмали оператордан фойдаланилса, бу оператор ни тўртинчи тартиб билан аппроксимация қилади.
4-мисол. тенгламани да бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш учун айирмали схема қуринг ва аппроксимация хатолигини баҳоланг.
Ечиш. ҳосилани қуйидаги айирмали нисбатларнинг бири билан алмаштириш мумкин:

.
Худди шунингдек ҳосилани


ифодаларнинг бири билан алмаштириш мумкин.
Айирмали схеманинг муҳим хоссаларидан бири, тўр нуқталарида айирмали схема ечимининг дифференциал масала ечимига яқинлигидир. Бунинг учун айирмали масала дифференциал масалага «яқин» бўлиши лозим. Ушбу «яқин»лик миқдор билан баҳоланади, бу ерда - дифференциал масала ечимининг тўр тугун нуқталаридаги қиймати.
Энди берилган тенгламани қуйидаги айирмали схема билан алмаштирамиз:
.
Аппроксимация тартибини аниқлаш учун қуйидаги тенгликдан фойдаланамиз:

Агар соҳада ҳосилалар мавжуд бўлса,
тенгликлардан фойдаланиб

ҳосил қиламиз.

эканлигиниэътиборгаолиб, қуйидагитенгликниоламиз:


тўрли функция учун нормани киритиб ва да деб фараз қилиб қуйидаги муносабатни ҳосил қиламиз:
.
Бу тенглик айирмали схема дифференциал масалани ва бўйича биринчи тартиб билан аппроксимация қилишини кўрсатади.
5-мисол. Икки ўлчовликўчиш тенгламасини
(1.1.1)
аппроксимация қилувчи Мак-Кормак схемаси қуйидаги кўринишда ёзилиши мумкин:
(1.1.2)
(1.1.3)
бу ерда мос равишда ўқлари бўйича, - вақт бўйича қадам катталиги. (1.1.2)-(1.1.3) схеманинг - қатлам шаблонини қуринг. Ушбу шаблон чизиқларининг бирортасига нисбатан симметрик бўладими?
Ечиш. Ушбу масалани икки усул билан ечиш мумкин. Биринчиси геометрик қуришга асосланади. Буни қаралаётган схема учун бажарамиз. - қатлам (1.1.2) тенгламасининг шаблони (бу тенгламани “предиктор” схема деб аталади) 4,а-расмдаги каби бўлади. (1.1.3) тенглама (бу тенгламани “корректор” схема деб аталади) тўрда аниқланган функциянинг қиймати тильда билан белгиланган, унинг шаблони 4,б-расмда кўрсатилган. Энди 4,а-расмда кўрсатилган марказий нуқтани 4, б-расмнинг барча нуқталарига жойлаштириб, Мак-Кормак схемасининг 5-расмда кўрсатилган - қатлам шаблонини ҳосил қилиш мумкин. Ушбу расмдан кўринадики (1.1.2)-(1.1.3) Мак–Кормак схемаси чизиққа ҳам, чизиққа нисбаттан ҳам симметрик эмас.

4-расм. - қатлам шаблони.


5-расм. (1.1.2)-(1.1.3) Мак-Кормак схемаси, - қатлам шаблони.
Иккинчи услуб математик амалларни бажаришга асосланган. (1.1.2) тенгламадан миқдор тўр ечимнинг тугун нуқтадаги қийматларига боғлиқлиги келиб чиқади. Буни қуйидаги формулани қўллаб, математик ифодалашимиз мумкин:
(1.1.4)
У ҳолда (1.1.3) тенгламадаги ечимнинг қиймати (1.1.4) тенгламадан индексни минус 1 га силжитиб топилади:
(1.1.5)
Шунга ўхшаш
. (1.1.6)
(1.1.3),(1.1.4), (1.1.5) ифоданинг ўнг томондаги барча тўр нуқталарини йиғиб, (1.1.2), (1.1.3) Мак-Кормак схемасининг шаблонини ҳосил қиламиз:
(1.1.7)
(1.1.7) кўриниб турибдики (1.1.2), (1.1.3) Мак-Кормак схемасининг - қатлам шаблони 7 та нуқтадан иборат (5-расмга қаранг).