Тўпламларнинг декарт кўпайтмаси. Муносабатлар. Эквивалентлик ва тартиб муносабати

КВАТЕРНИОНЛАР АЛГЕБРАСИ

К тўплам ҳақиқий сонлар майдони устида 4 ўлчовли чизиқли фазо бўлсин. Унинг базис элементларини е₁=1, е₂=l, e₃=j, e₄=k кўринишда белгилайлик. Демак, К фазонинг ихтиёрий  элементини шу базис векторларнинг чизиқли комбинацияси шаклида ифодалаш мумкин, яъни

=a+bi+cj+dk a,b,c,dR
К тўпламнинг ихтиёрий 2 та ,  элементлари ўртасида кўпайтириш амалини аниқлаш орқали К тўпламни R майдон устида алгебра ташкил этишини кўрсатамиз. Бунинг учун эса е₁, е₂, e₃, e₄ базис векторларнигина кўпайтиришни билиш етарли. 1, i, j, k базис векторларнинг кўпайтмасини қуйидаги жадвал орқали аниқлаймиз:

Бу жадвалдан фойдаланиб, К тўпламнинг ихтиёрий иккита элементини кўпайтириш мумкин. Бу жадвал орқали аниқланган кўпайтириш амали ассоциатив, лекин коммутатив эмас. Бундан ташқари, К нинг ихтиёрий x,y элементлари ва R сон учун
(xy)=(x)y=x(y)
тенгликлар бажарилади. Демак, К тўплам R-майдон устида рангги 4 га тенг бўлган алгебра ташкил этади.
=a+bi+cj+dk элемент орқали қурилган
=a-bi-cj-dk
кўринишдаги элементни  га қўшма элемент дейилади. Агар

тенглик билан К элементнинг нормасини аниқласак, К алгебра R-майдон устида нормаллашган алгебра ташкил этади, чунки бу норма учун қуйидаги хоссалар бажарилади.
а) ва ;
б)
с)
Агар 0 бўлса, у ҳолда бўлиб, тенглик ўринли бўлади. Бундан тенгликни ва ^-1К муносабатни ҳосил қиламиз. Демак, К алгебра бўлинишга эга бўлган бўлади.
Бу алгебрани кватернионлар алгебраси, унинг элементларини эса кватерионлар дейилади.
Шундай қилиб биз, бўлинишга эга бўлган ҳақиқий сонлар майдонининг кенгайтмасини қуришга эришдик.
Энди К кватернионлар алгебрасининг кенгайтмасини ҳам қуриш мумкинми, деган савол туғилиши табиий. Бу ерда бўлинишга эга бўлган кенгайтма ҳақида сўз кетмоқда. Бундай алгебрани қуйидаги усул билан қурилади.
А={+/,К}
тўпламни қурайлик, бу ерда ,-кватернионлар,  эса К га тегишли бўлмаган қандайдир янги элемент. А тўпламни ихтиёрий иккита элементини қўшиш ва  ҳақиқий сонга, кўпайтириш амалларини мос равишда қуйидаги тенгликлар билан аниқланади
(+)+(+)=(+)+(+),
(+)=+
У ҳолда, А тўплам R-ҳақиқий сонлар майдони устида 8 ўлчовли чизиқли фазо ташкил этиб унинг битта базиси
1, i, j, k, , i, j, k
кўринишда бўлади. Агар бу фазода иккита элементнинг кўпайтмасини
(+)(+)=(-)+(+)
тенглик билан аниқланса, А тўплам ҳақиқий сонлар майдони устида бўлинишга эга ранги 8 га тенг бўлган алгебрани ташкил этади.
Лекин, шуни таъкидлаш керакки, бу алгебрадаги кўпайтириш амали ассоциатив эмас. Бу алгебрани Кэли алгебраси, унинг элементларини эса, Кэли сонлари дейилади. Шундай қилиб биз, ҳақиқий сонлар майдонининг яна битта кенгайтмасини қурдик. Лекин, ҳар бир кенгайтмани қуришда алгебранинг бўлинишга эга бўлиш хоссасини сақлаган ҳолда, бошқа муҳим бир хоссасидан воз кечишга тўғри келади. Масалан, С-майдонни қуришда чизиқли тартиб муносабатидан, К-алгебрани қуришда кўпайтманинг коммутативлигидан, А алгебрани қуришда эса, яна битта хосса, кўпайтманинг ассоциативлиги бажарилмайди.