Sonli qatorl ar. D ar aj ali qato rl ar

n
S
1
2
3
...
( 2 )
n
n
S
a
a
a
a






---

(2) da 
n
ga 1, 2, 3, … qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega 
bo‘lamiz: 
. 
Yuqoridagi {
S
n
} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin. 
Ta’rif
. 
Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi {
} chekli limitga ega 
bo‘lsa, ya’ni 
mavjud bo‘lsa, u holda bu qator 
yaqinlashuvchi
qator
deyiladi. {
} 
ketma-ketlik limiti
(2) 
qatorning yig‘indisi
deyiladi. 
Bu holda 
yoki
kabi yoziladi. 
Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda 
uzoqlashuvchi
qator 
deyiladi. 
Agar 
bo‘lsa, u holda 
yoki
kabi yozishga kelishamiz.
Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil 
qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun 
kerak bo‘ladi. 
Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz. 
1-
misol
. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring: 
. 
Ye
chish
. Berilgan qatorning 
n
-xususiy yig‘indisi
. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida 
qatorning 
n
-hadini quyidagi 
ko‘rinishda yozib olamiz. U holda 
= 
=
bo‘ladi. Ravshanki, {
S
n
} ketma-ketlik limiti mavjud va 
ga 
teng. 
Demak, 
berilgan 
qator 
yaqinlashuvchi 
bo‘lib, 
uni 
=
, yoki 
=
kabi yozish mumkin ekan. 
2-
misol
. Umumiy hadi 
bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring. 
Ye
chish.
Bu qatorning 
n
-xususiy yig‘indisi 
ga teng. 
Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 
1, 0, 1, 0, ... 
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
,
,
, ...,
...
, ...
n
n
S
a
S
a
a
S
a
a
a
S
a
a
a
a











n
S
n
n
S


lim
n
S
n
n
S
lim
S



1
2
3
n
S
a
a
a
a






1
n
n
S
a




li m
n
n
S
 
 
1
n
n
a


 

S
 
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n n









1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n
S
n n









1
1
1
1
(
2 )
2
2
n n
n
n










1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
2
4
2
3
5
2
1
1
2
2
n
S
n
n
n
n












































1
1
1
1
1
2
2
1
2
n
n











3
4
3
4
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n n









3
4
1
1
(
2 )
n
n n




1
( 1)
n
n
a

 
1
1
1
1
1
( 1)
n
n
S

    
 

---

Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak, 
qator 
uzoqlashuvchi ekan. 
Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini 
olishimiz mumkin: 
(3) 
bunda 
a

0. Bu qator 
geometrik qator
deyiladi. Geometrik qator 
q
ning qanday qiymatlarida 
yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning
n-
xususiy yig‘indisini qaraymiz. 
Geometrik progressiya birinchi 
n 
ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (
q

1) 
o‘rinli. Agar 

q

<1 bo‘lsa, u holda 
bo‘lib,
mavjud va
bo‘ladi. Demak, 

q

<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va 
uning yig‘indisi 
bo‘ladi. 
Agar |
q
|>1 bo‘lsa, u holda 
va 
=

bo‘ladi. Demak, bu holda 
geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar 
q
=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi 
bo‘ladi. Bu holda xususiy yig‘indilar ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak 
(3) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar 
q
=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi 
S
n
=a+a+…a=na
va 
=

bo‘ladi. 
Shunday qilib, geometrik qator 

q

<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |
q
|

1 bo‘lganda 
uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya 
yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi: 
=
 2.Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari. 
 
Bizga ushbu
va 
qatorlar berilgan va 
c
ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lsin. 
Ushbu
qator (1) qatorni 
c
o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi. 
1
1
( 1)
n
n





2
1
...
... 
n
a
a q
a q
a q






1
1
1
n
n
n
a
a q
a
q
S
a
q
q
q







li m
0
n
n
q
 

li m
n
n
S
 
li m
n
n
S
 
lim
1
1
1
n
n
a
q
a
a
q
q
q
 












1
a
q

li m
n
n
q
 
 
li m
n
n
S
 
(1
( 1) )
2
n
n
a
S

 
li m
n
n
S
 
1
a
q

2
1
...
... 
n
a
a q
a q
a q






1
2
3
...
... ( 1 )
n
a
a
a
a





1
2
3
...
... ( 2 )
n
b
b
b
b





1
2
3
...
... ( 3 )
n
c a
c a
c a
c a





1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
(
)
(
)
(
)
...
(
)
... ( 4 )
(
)
(
)
(
)
...
(
)
... ( 5 )
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b



















---

qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi.
1-
teorema
. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi 
S
ga teng bo‘lsa, u holda (3) qator 
ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi 
cS
ga teng bo‘ladi. 
Isboti
. 
(3) 
qatorning 
n
-xususiy 
yig‘indisini 
yozib 
olamiz: 
. 
Buni 
quyidagicha 
yozib 
olish 
mumkin: 
, bu yerda 
S
n
(1) qatorning 
n
-xususiy yig‘indisi. Teorema 
shartiga 
ko‘ra 
, 
u 
holda 
limit 
mavjud 
bo‘ladi: 
. 
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida yana 
yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi va uning yig‘indisini topish uchun berilgan qator yig‘indisini 
shu songa ko‘paytirish yetarli. 
2-
teorema
. Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda 
S
va 
S’
bo‘lsa, u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va ularning yig‘indilari mos 
ravishda 
S+S’
va 
S-S’
ga teng bo‘ladi.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig‘indilar kabi qo‘shish va ayirish 
mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebraik yig‘indilari uchun ham 
umumlashtirish mumkin. 
3-
teorema
. Agar yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o‘zgartirmasdan 
ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo‘lgan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi avvalgi 
qator yig‘indisiga teng bo‘ladi. 
Qatorning qoldig‘i 
 
Ushbu
qator berilgan bo‘lsin. Uning dastlabki 
k
ta (tayinlangan son) hadini tashlab yuborish natijasida 
yangi qator hosil bo‘ladi: 
(2) qator (1) 
qatorning qoldig‘i
deyiladi.
3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. 
Teorema.
Agar
(1) 
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning 
a
n
 
umumiy hadi 
n
cheksizga intilganda nolga intiladi, 
ya’ni 
bo‘ladi. 
Isboti.
Faraz qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi 
S
ga ya’ni 
bo‘lsin. U holda {
S
n
} ketma-ketlikning qism ketma-ketligi 
ham yaqinlashuvchi 
va 
bo‘ladi. 
Ravshanki. 
bundan 
mavjud 
va 
. 
Shunday 
qilib, 
(1) 
qator 
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan. 
Yuqoridagi teoremadan qator uzoqlashishining yetarli sharti kelib chiqadi. 
Natija
. Agar (1) qatorning 
a
n
umumiy hadi
n
cheksizga intilganda noldan farqli chekli 
limitga ega bo‘lsa, yoki limitga ega bo‘lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. 
1
2
3
...
n
n
c a
c a
c a
c a






1
2
3
(
...
)
n
n
n
c a
a
a
a
c S







li m
n
n
S
S
 

li m
n
n

 
lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
c S
c
S
c S

 
 
 



1
2
3
...
... ( 1 )
n
a
a
a
a





1
2
3
...
... ( 2 )
k
k
k
k
n
a
a
a
a









1
2
...
...
n
а
а
а




li m
0
n
n
a
 

li m
n
n
S
S
 

1
{
} (
2 )