Simpleks jadval. Chiziqli programmalashtirish masalasining optimal yechimini simpleks usuli yordamida topish

Bazis yechim	Sj		Bj		Asosiy noma’lumlar								Qo’shimcha noma’lumlar
					▼x1		x2		x3		x4		y1		y2		y3		y4
		s1=520		s2=480		s3=300		s4=180		s5= 0		s6=0		s7=0		s8=0
y1	s5=0		450		12		12		7		3		1		0		0		0		37.5
► y2	s6=0		560		15		14		8		4		0		1		0		0		37.3
y3	s7=0		300		8		6		5		3		0		0		1		0		37.5
y4	s8=0		200		5		4		3		2		0		0		0		1		40
Zj -Cj		0		-520		-480		-300		-190		0		0		0		0

Boshlang’ich simpleks jadvalidagi indeks qatorida manfiy sonlar mavjud. Demak, dastlabki tayanch reja optimal yechim emas.

Hal qiluvchi ustunni tanlash

ChDM maksimumga yechilsa indeks qatoridagi manfiy sonlarning absolyut qiymati bo’yicha eng kattasi olinadi. Agar masala minimumga yechilsa indeks qatoridagi musbat sonlarning eng kattasi olinadi.

Boshlang’ich simpleks jadvalidagi indeks qatordan ko’rinib turibdiki [x₁] ustun hal qiluvchi ustun bo’ladi.

Chunki, max│-520; -460;-300; -190│ = 520

Iqtisodiy mazmuni. Ma’lumki 520 soni indeks qatorida keltirilgan sonlarning eng kattasi bo’lib, u bir bosh sog’in sigirni sotishdan olinadigan daromadni ifodalaydi. Shuning uchun sog’in sigirlarni boqishni rejaga kiritish mantiqan maqsadga muvofiq bo’ladi. Demaq x₁ (sog’in sigirlar) noma’lum bazis yechimga ya’ni rejaga kiritiladi.

Hal qiluvchi satrni tanlash

Buning uchun (b_j) ozod hadlar ustunidagi sonlar, hal qiluvchi ustun [x₁] ning mos koeffisiyentlari (a_ij)ga bo’linadi va hosil bo’lgan qiymatlar ustunga yoziladi. Bu sonlarning eng kichigi joylashgan satr hal qiluvchi satr bo’ladi.

Demak, b₁ : a₁₁= 450 : 12= 37.5; b₂ : a₂₁= 560 : 15= 37,3;

b₃ : a₃₁= 300 : 8= 37,5; b₄ : a₄₁= 200 : 5= 40.

Bu qiymatlar ichida eng kichigi 37.3 va u [y₂] satrda joylashgan. Demak, [y₂] satr hal qiluvchi satr hisoblanadi.

y₂ noma’lum bazisdan chiqarilib o’rniga x₁ noma’lum bazisga kiritiladi

Iqtisodiy mazmuni. Xujalik bo’yicha konsentrat ozuqalarning hajmi 450 s ga teng bo’lsa, bir bosh sog’in sigirga bir yil davomida 12 s ozuqa birligida konsentrat talab qilinadi. Konsentrat ozuqa resurlari yil davomida b₁ : a₁₁= 450 : 12= 37.5 bosh sog’in sigirni boqishga yetadi. Bu ko’rsatkichlar mos ravishda shirali ozuqalarda 37,3 dag’al xashaklar bo’yicha 37,5 va pichan bo’yicha 40 ga teng bo’ladi.

Agar hal qiluvchi satr qilib boshqa satr olinsa, ozod hadlar ustuniga yoziladigan konsentratlarning yetishmovchiligi yuzaga keladi. Natijada masala noma’lumlarning nomanfiylik sharti bajarilmaydi.

1.18. Chiziqli programmalashtirishda ikkilanish nazariyasi

Har bir ChDM boshqa bir masala bilan uzviy bog’langan bo’lib u ikkilangan masala deb; dastlabkisi esa boshlang’ich yoki yoki berilgan masala deb ataladi. Berilgan va ikkilangan masalalarning uzviy bog’langanligi shundaki, ulardan birining yechimini bevosita boshqasini yechish orqali ham olish mumkin. Yaxshi ishlab chiqilgan chiziqli dasturlashning matematik apparati, nafaqat optimal rejalarni topishni, balki berilgan va ikkilangan masalalarning xossalariga asoslangan holda iqtisodiy mazmunga ega bo’lgan xulosalar chiqarishga imkoniyat yaratadi.

Resurslarni optimal taqsimlash masalasini ko’rib chiqaylik. Aytaylik korxona n ta turdagi P₁, P₂, …,P_n mahsulotlar ishlab chiqarish uchun m hil S₁, S₂,…,S_m xom-ashyo resurslariga ega bo’lsin (1-jadval).

1-jadval.

Xom-ashyo turi	Xom –ashyo resursi	Mahsulot turi
		P1	P2	P3	…	Pn
S1	b1	a11	a12	a13	…	a1n
S2	b2	a21	a22	a23	…	a2n
…	…	…	…	…	…	…
Sm	bm	am1	am2	am3	…	amn
Bir birlik mahsulotdan olinadigan foyda:		c1	c2	c3	…	cn

Xom-ashyo resurslari soni (m), mahsulot turlari soni (n) dan kam (m) bo’lsin.

1.19. Ikkilangan masalaning qo’yilishi. Ikkilangan masalani qurish usullari.

Berilgan ChDMni modelini tuzish

Masalaning qo’yilishi. Korxonada ishlab chiqarishning shunday optimal rejasini tuzish talab qilinadiki, olinadigan foyda maksimal bo’lsin.

Masalaning yechilishi

x₁ noma’lum P₁ mahsulot turining soni, x₂ noma’lum P₂ mahsulot turining soni, …, x_n noma’lum P_n mahsulot turining sonini ifodalasin.

1) b₁- xom-ashyo resursidan: x₁ - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a₁₁ birlik, x₂- mahsulotni ishlab chiqarish uchun a₁₂ birlik, …, x_n - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a_n1 birlik sarf bo’ladi. Sarf bo’lgan xom-ashyo resurslari yig’indisi a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + a₁₃x₃ +…+a_1nx_n ga teng bo’lib, bu yig’indi b₁- xom-ashyo resursidan oshib ketmasligi lozim, ya’ni

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + a₁₃x₃ +…+ a_1nx_n  b₁

2) b₂- xom-ashyo resursidan: x₁ - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a₂₁ birlik, x₂- mahsulotni ishlab chiqarish uchun a₂₂ birlik, …, x_n - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a_n2 birlik sarf bo’ladi. Sarf bo’lgan xom-ashyo resurslari yig’indisi a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃ +…+a_2nx_n ga teng bo’lib, bu yig’indi b₂- xom-ashyo resursidan oshib ketmasligi lozim, ya’ni:

a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃ +…+ a_2nx_n  b₂

3) b_m - xom-ashyo resursidan: x₁ - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a_m1 birlik, x₂ - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a_m2 birlik, …, x_n - mahsulotni ishlab chiqarish uchun a_nm birlik sarf bo’ladi. Sarf bo’lgan xom-ashyo resurslari yig’indisi a_m1x₁+ a_m2x₂ + a_m3x₃ +…+a_mnx_n ga teng bo’lib, bu yig’indi b_m- xom-ashyo resursidan oshib ketmasligi lozim, ya’ni:

a_m1x₁+ a_m2x₂ + a_m3x₃ +…+ a_mnx_n  b_m

Resurslarning taqsimlanishi ushbu tengsizliklar sistemasini tashkil qiladi:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + a₁₃x₃ +…+ a_1nx_n  b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃+…+ a_2nx_n b₂ (1)

… … … … … … … …

a_m1x₁+ a_m2x₂ + a_m3x₃ +…+ a_mnx_n  b_m

x_{1 , 2 , 3 , . . . , n}  0, (2)

Z_max = c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃+...+ c_nx_n. (3)

Maqsad funksiyasi x₁ , x₂ ,…, x_n sondagi tayyor mahsulotlarni ishlab – chiqarishdan olinadigan maksimal foydani ifodalaydi.

Demak, biz korxonada resurslarni optimal taqsimlashni ChDMni tuzdik.

II. Ikkilangan ChDMning modelini tuzish

Aytaylik boshqa bir tashkilot, qaralayotgan korxonaning barcha resurslarini sotib olishga qaror qilgan bo’lsin. Bunday hollarda korxonadan sotib olinadigan resurslarni optimal bahosini belgilash zaruriyati tug’iladi.

Bu yerda quyidagi ob’yektiv talablarni hisobga olish zarur bo’ladi:

1) sotib oluvchi tashkilot, korxona resurslarining umumiy bahosini arzon (minimal) bo’lishiga harakat qiladi;

2) har bir resurs turi shunday summadan kam bo’lmagan miqdorda baholanishi kerak bo’ladiki, qaysikim u korxona resurslaridan ishlab chiqiladigan mahsulotlaridan olinadigan foydaga teng bo’lsin.

Masalaning qo’yilishi. Korxonaning ishlab chiqarish resurslarini optimal bahosi aniqlansin. Bu resurslarining umumiy bahosi minimal bo’lsin.

Masalaning yechilishi

Asosiy noma’lumlarning belgilanishi: u₁ noma’lum S₁ turdagi a₁₁ birlik mahsulotning bahosi, m.s; u₂ noma’lum S₂ turdagi a₂₁ birlik mahsulotning bahosi; u ₃ noma’lum S₃ turdagi a₃₁ birlik mahsulotning bahosi; u_m – S_m turdagi a_m1 birlik mahsulotning bahosi .

Birinchi shartga ko’ra xom-ashyo resurslarining umumiy bahosi ushbu kattalik F_min= b₁u₁+ b₂u₂+ b₃u₃+…+b_mu_m (3*) bilan ifodalaniladi.

Ikkinchi shart talablariga ko’ra:

a) P₁ mahsulotlarni ishlab chiqarishda a₁₁ birlik xom- ashyo resursi u₁ bahoda, a₂₁ birlik xom- ashyo resursi u₂ bahoda, a₃₁ birlik xom- ashyo resursi u₃ bahoda va nihoyat a_m1 birlik xom- ashyo resursi u_m bahoda sarf bo’ladi. Demak, bu xom-ashyo rusurslarining bahosi a₁₁u₁+ a₂₁u₂+ a₃₁u₃+…+a_m1u_m dan iborat bo’lib va u c₁ dan kam bo’lmasligi lozim, ya’ni:

a₁₁u₁+ a₂₁u₂+ a₃₁u₃+…+ a_m1u_m ≥ c₁.

b) P₂ mahsulotlarni ishlab chiqarishda a₁₂ birlik xom- ashyo resursi u₁ bahoda, a₂₂ birlik xom- ashyo resursi u₂ bahoda, a₃₂ birlik xom- ashyo resursi u₃ bahoda va nihoyat a_m2 birlik xom- ashyo resursi u_m bahoda sarf bo’ladi. Demak, bu xom-ashyo rusurslarining bahosi a₁₂u₁+ a₂₂u₂+ a₃₂u₃+…+a_m2u_m dan iborat bo’lib va u c₂ dan kam bo’lmasligi lozim, ya’ni:

a₁₂u₁+ a₂₂u₂+ a₃₂u₃+…+ a_m2u_m ≥ c₂.

c) P_m mahsulotlarni ishlab chiqarishda a_1n birlik xom- ashyo resursi u₁ bahoda, a_2n birlik xom- ashyo resursi u₂ bahoda, a_3n birlik xom- ashyo resursi u₃ bahoda va nihoyat a_mn birlik xom- ashyo resursi u_m bahoda sarf bo’ladi. Demak, bu xom-ashyo rusurslarining bahosi a_1nu₁+ a_2n u₂+ a_3nu₃+…+a_mnu_m dan iborat bo’lib va u c_m dan kam bo’lmasligi lozim, ya’ni:

a_1nu₁+ a_2n u₂+ a_3nu₃+…+ a_mnu_m ≥ c_m.

Masalaning iqtisodiy mazmuniga ko’ra baholarning manfiy bo’lishi mumkin emas:

u₁ ≥ 0, u₂ ≥ 0, u₃ ≥ 0, u₄ ≥ 0.

Natijada ikkilangan masalaning ChDM umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

a₁₁u₁+ a₂₁u₂+ a₃₁u₃+…+ a_m1u_m ≥ c₁.

a₁₂u₁+ a₂₂u₂+ a₃₂u₃+…+ a_m2u_m ≥ c₂.

… … … … … … … … …

a_1nu₁+ a_2n u₂+ a_3nu₃+…+ a_mnu_m ≥ c_n. (1*)

u₁ ≥ 0, u₂ ≥ 0, u₃ ≥ 0, …, u_m ≥ 0. (2*)

F_min= b₁u₁+ b₂u₂+ b₃u₃+…. +b_mu_m (3*)

Bu ikkita masala juftligi ham amalda chiziqli dasturlashning mustaqil masalalari bo’lib, ular bir – biriga bog’liq bo’lmagan holda yechilishi mumkin. Lekin, masalalardan birining simpleks usuli bilan aniqlanadigan optimal rejasi, ikinchisining ham yechimi bo’lishi mumkin.

Berilgan masalaning maksimum qiymati ikkilangan masalaning minimum qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni: Z_max =F_min

Bu masalalarning optimal yechimlari o’zaro quyidagi teorema asosida bog’langan bo’ladi.

Teorema. Agar berilgan masalada yoki unga ikkilangan masaladan birortasi optimal yechimga ega bo’lsa, u holda ikkinchisi ham yechimga ega bo’ladi hamda bu masalalardagi chiziqli funksiyalarning ekstremal qiymatlari o’zaro teng bo’ladi, ya’ni Z_min = F_max

1.20. Simmetrik va simmetrik bo’lmagan qo’shma masalalar va ularning matematik modellari

Berilgan va ikkilangan chiziqli dasturlash masalalarining juftligi, simmetrik va nosimmetrik bo’lishi mumkin.

Simmetrik bo’lgan ikkilangan chiziqli dasturlash masalalari. Berilgan ChDMdagi chegaraviy shartlarning tengsizlik belgilari () kichik yoki teng bo’lsa, ikkilangan masaladagi chegaraviy shartlarining tengsizlik belgilari unga qarama - qarshi () katta yoki teng shaklda bo’ladi.

Savol. Berilgan masala minimumga yechilganda simmetrik bo’lmagan ikkilangan masalalar deganda qanday ChDM tushuniladi?

Javob: Chiziqli dasturlashning simmetrik bo’lmagan ikkilangan masalalarda berilgan masaladagi chegaralovchi shartlar tenglamalardan, ikkilangan masaladagi chegaralovchi shartlar esa tengsizliklardan iborat bo’ladi, ya’ni:

Berilgan masala a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2, … … … … … … … am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm. x1 , 2 , . . . , n  0, Zmin = c1x1+c2x2+...+ cnxn.

Ikkilangan masala a11u1 + a21u2 + ... + am1um  c1, a12u1 + a22u2 + ... + am2um  c2, … … … … … … … a1nu1 + a2nu2 + ...+ amnum  cn, u1 , 2 , . . . ,m  0, Fmax = b1u1+b2u2+...+ bmum .

Savol. Berilgan masala maksimumga yechilganda simmetrik bo’lmagan ikkilangan masalalar deganda qanday ChDM tushuniladi?

Javob. Chiziqli dasturlashning simmetrik bo’lmagan ikkilangan masalalarda berilgan masaladagi chegaralovchi shartlar tenglamalardan, ikkilangan masaladagi chegaralovchi shartlar esa tengsizliklardan iborat bo’ladi, ya’ni:

Berilgan masala a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2, … … … … … … … am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm. x1 , 2 , . . . , n  0, Zmax = c1x1+c2x2+...+ cnxn.

Ikkilangan masala a11u1 + a21u2 + ... + am1um  c1, a12u1 + a22u2 + ... + am2um  c2, … … … … … … … a1nu1 + a2nu2 + ...+ amnum  cn, u1 , 2 , , . . . ,m  0, Fmin = b1u1+b2u2+...+ bmum.

1.21. Qo’shma masalalar va ularning iqtisodiy talqini

Ikkilanganlikning birinchi teoremasini iqtisodiy mazmuni quyidagicha bo’ladi.

X*=(x₁,x₂,..., x_n) berilgan masalaning yechimlari, C*=(c₁,c₂,…,c_m) mahsulot birligining sotish baholari va U*=(u₁,u₂,…,u_m) esa ikkilangan masalaning yechimlari bo’lsin.

Mahsulotlarni oldindan berilgan C*=(c₁,c₂,…,c_m) cotish baholari bilan aniqlanadigan foyda, masalani yechish natijasida aniqlanadigan resurslarning U*=(u₁,u₂,…,u_m) baholariga teng bo’lsa va faqat shu vaqtda X*=(x₁,x₂,...,x_n) ishlab chiqarish rejasi va U*=(u₁,u₂,…,u_m) resurslar bahosi to’plami optimal bo’lishi mumkin.

Demak, ikkilanganlikning birinchi teoremasini yana quyidagicha talqin qilish mumkin: korxona optimal rejaga ko’ra X*=(x₁,x₂,...,x_n) sondagi mahsulotlarni ishlab chiqarib, maksimal foyda ko’rishi yoki mahsulot ishlab chiqarish resurslarni U*=(u₁,u₂,…,u_m) bahoda sotishi mumkin.

Bunday hollarda ikkilanganlikning ikkinchi teoremasidan quyidagi talablar kelib chiqadiki X*= (x₁,x₂,...,x_n) optimal ishlab chiqarish rejasi va mahsulot ishlab chiqarish resurslarni U*=(u₁,u₂,…,u_m) bahosi uchun:

Agar, u1> 0 bo’lsa, u holda, u2> 0 bo’lsa, u holda, … … … um> 0 bo’lsa, u holda		a11x1+ a12x2 + … +a1nxn = b1 bo’ladi; a21x1+ a22x2 +… + a2nxn = b2 bo’ladi; … … … am1x1+ am2x2 +…+amnxn= bm bo’ladi.
yoki yoki yig’indi ko’rinishida quyidagicha yoziladi:
Agar, ui > 0 bo’lsa, u holda,	aij∙xj = bi bo’ladi. i=1,2,3,…,m
Agar a11x1+a12x2 + …+a1nxn < b1 bo’lsa, u holda a21x1+ a22x2 +…+ a2nxn 2 bo’lsa, u holda … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn m bo’lsa, u holda			u1 = 0 bo’ladi; u2 = 0 bo’ladi; … um = 0 bo’ladi.
yoki yoki yig’indi ko’rinishida quyidagicha yoziladi:
Agar aij∙xj = bj bo’lsa, u holda			ui = 0 bo’ladi. i=1,2,3,…,m. (4)
Agar, x1> 0 bo’lsa, u holda, x2> 0 bo’lsa, u holda, … … … xn > 0 bo’lsa, u holda a11u1+ a21u2 +…+ am1um = c1 bo’ladi; a12u1+ a22u2 +…+ am2um = c2 bo’ladi; … … … a1nu1+ a2n u2 +…+ amnum = cn bo’ladi. yoki yoki yig’indi ko’rinishida quyidagicha yoziladi: Agar, xj > 0 bo’lsa, u holda, aij∙uj = cj bo’ladi; j =1,2,…,n. Agar a11u1+ a21u2 +…+ am1um > c1 bo’lsa, a12u1+ a22u2 +…+ am2um > c2 bo’lsa, … … … … … … … a1nu1+ a2n u2 +…+ amnum > cn bo’lsa, x1 = 0 bo’ladi; x2 = 0 bo’ladi; … xn = 0 bo’ladi. yoki yoki yig’indi ko’rinishida quyidagicha yoziladi: Agar aij∙uj > cj bo’lsa u holda xj= 0 bo’ladi. j =1,2,3,…,n (4*)

(4) shartni quyidagicha talqin qilish mumkin: agar i – turdagi u_i birlik mahsulot ishlab chiqarish resursining bahosi (u_i > 0) musbat bo’lsa, u holda bu resurs optimal ishlab chiqarish rejasiga ko’ra to’liq sarflanadi, agarda bu resurs to’liq sarflanmasa uning bahosi nolga teng bo’ladi.

(4*) shartni esa quyidagicha talqin qilish mumkin: agar j – mahsulot turi ishlab chiqarishda optimal rejaga kirgan bo’lsa, u mahsulot resursining optimal baholarda zararli emas, agar j – mahsulot turi zararli bo’lsa, demak u ishlab chiqarish rejasiga kirmaydi va ishlab chiqarilmaydi.

Yuqoridagi talablarga ko’ra olingan yechimlarni tahlil qilamiz:

Berilgan masala:

4x1+ 2x2 +2x3 +3x4  36 x1+ x2 + 2x3 + x4  30, 3x1+ x2 + 2x3 + x4 40. x1 , 2 , 3 ,4  0. Zmax = 14x1+10x2+14x3+ 11x4.

Masalani yechish natijasida topilgan optimal x₁ =0, x₂ =6, x₃ = 12 va x₄ = 0 yechimlarni berilgan tengsizliklar sistemasiga qo’yamiz:

4x₁+ 2x₂ +2x₃ +3x₄ = 4∙0+ 2∙6 + 2∙12 + 3∙0 = 12+24 =36 = 36,

x₁+ x₂ + 2x₃ + x₄ = 0+ 6 + 2∙12 + 0 = 6+24 = 30 = 30,

3x₁+ x₂ + 2x₃ + x₄ = 3∙0+ 6 + 2∙12 + 0 = 6+24 = 30 < 40.

Z_max = 14x₁+10x₂+14x₃+ 11x₄=14∙0+10∙6+14∙12+11∙0 =228.

Ikkilangan masala:

4u1+ u2+ 3u3 ≥ 14, 2u1+ u2+ u3 ≥ 10, 2u1+2u2+2u3 ≥ 14, 3u1+3u2+ u3 ≥ 11. u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0. Fmin= 36u1+ 30u2+ 40u3

Ikkilangan masalani yechish natijasida topilgan u₁ = 3, u₂ = 4 va u₃ = 0 optimal yechimlarni berilgan tengsizliklar sistemasiga qo’yamiz:

4u₁+ u₂+ 3u₃ = 4∙3+ 4+0 = 16 ≥ 14,

2u₁+ u₂+ u₃ = 2∙3+ 4+0 = 12 = 12,

2u₁+2u₂+2u₃ = 2∙3+ 2∙4+0 = 14 = 14,

3u₁+3u₂+ u₃ = 3∙3+ 2∙4+0 = 17 ≥ 11.

F_min= 36u₁+ 30u₂+ 40u₃= 36∙3+ 30∙4+ 40∙0=228.

Ikkilanganlikning ikkinchi teoremasini birinchi talabining shartlari bo’yicha olingan optimal yechimlarni iqtisodiy tahlil qilamiz.

a) u₁ = 3 u holda a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + a₁₃x₃+ a₁₄x₄ = b₁↔4x₁+ 2x₂ +2x₃+3x₄ = 36. Demak, b₁= 36 birlik resurs to’liq sarflanadi;

b) u₂ = 4 u holda,a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃+ a₂₄x₄ = b₂↔ x₁+ x₂+2x₃+x₄=30. Demak, b₂= 30 birlik resurs to’liq sarflanadi:

c) a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+ a₃₄x₄ < b₃↔ 3x₁+ x₂ + 2x₃ + x₄ = 30 < 40,

u holda u₃ = 0. Demak b₃= 40 birlik resurs to’liq sarflanmaydi va uning bahosi nolga teng.

Ikkilanganlikning ikkinchi teoremasini ikkinchi talabining shartlari bo’yicha olingan optimal yechimlarni iqtisodiy tahlil qilamiz.

a) a₁₁u₁+ a₂₁u₂ + a₃₁u₃ > c₁↔ 4u₁+ u₂+ 3u₃ > 14

u holda x₁ = 0. Demak. x₁- P₁ mahsulot turidan ishlab chiqarish rejaga kiritilmaydi.

b) x₂ = 6 u holda a₂₁u₁+ a₂₂u₂ + a₂₃u₃ = c₂↔ 2u₁+ u₂+ u₃ = 12

Demak. P₂ mahsulot turidan ishlab chiqarish foydali.

c) x₃ = 12 u holda a₃₁u₁+ a₃₂u₂ + a₃₃u₃ = c₃↔ 2u₁+2u₂+2u₃ = 14,

Demak, P₃ mahsulot turidan ishlab chiqarish foydali.

d) a₁₄u₁+ a₂₄u₂ + a₃₄u₃ > c₁ ↔ 3u₁+3u₂+ u₃ > 17

u holda x₄ = 0. Demak. x₄ - P₄ mahsulot turidan ishlab chiqarish rejaga kiritilmaydi.

Xulosa. Optimal rejaga ko’ra P₂ va P₃ bu mahsulotlarni ishlab chiqarish foydali va P₁ va P₄ lar esa zarrarli hisoblanadi.

Tavsiya etiladiga adabiyotlar

1. Jumayev X.H., Otaniyazov B. va boshqalar. Matematik programmalashtirish. Darslik, Toshkent. 2005 y.-230 b.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2001. -330 стр.

3. Beknazarova N.R., Jumayev X.N. Matematik programmalashtirish va optimallashtirish usullari. -T.; Iqtisodiyot, 2010 y, -170 b.

Nazorat savollari

1. Iqtisodiy-matematik masalaning optimallik mezonini ayting

2. Iqtisodiy-matematik masalaning umumiy sonli modelini yozing.

3. Iqtisodiy-matematik masalaning matrisali modelini yozing.

4. Masalaning maqsad funksiyasi nima va uning mohiyatini ayting.

5. Texnik-iqtisodiy koeffisiyentlarning mazmunini ayting.