|
1.1.1-ta’rif. Ushbu
, , (1.1.14)
chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb, shunday funksiyaga aytiladiki, u funksiya yopiq sohada aniqlangan bo‘lib, oraliqdan har bir uchun ning funksiyasi sifatida quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
. funksiya va bo‘yicha oraliqda uzluksiz, bo‘yicha -tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi;
. dan olingan ixtiyoriy tayinlangan uchun funksiya bo‘yicha va oraliqlarning har birida - va tartibli hosilalarga ham ega, ammo - tartibli hosilasi nuqtada chekli uzilishga ega, ya’ni:
(1.1.15)
. va intervallarning har birda ning funksiyasi sifatida funksiya (1.1.14) munosabatlarni qanoatlantiradi, ya’ni , , .
1.1.2-teorema. Agar (1.1.14) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda shu masala uchun yagona Grin funksiyasi mavjud.
Isbot. , funksiyalar tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo‘lsin. U holda bu tenglamaning barcha yechimlari formula bilan yoziladi. Shuning uchun larning biror qiymatida bu formuladan funksiyani hosil qila olsak, teorema isbot bo‘lgan bo‘ladi. Grin funksiyasi mavjud bo‘lsa, intervalda
,
intervalda esa
munosabatlar o‘rinli bo‘lishi kerak. Bundan tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgani uchun bo‘lganda ushbu
,
,
…
tengliklarga ega bo‘lamiz; tartibli hosila uchun
tenglikka egamiz. Agar desak, yuqoridagi tengliklar quyidagicha yoziladi:
(1.1.16)
Bu sistemaning determinanti chiziqli erkli ( ) funksiyalar Vronskiy determinantining nuqtadagi qiymatidan iborat. Ma’lumki bu holda . Shuning uchun (1.1.16) sistema determinanti noldan farqli bir jinsli bo‘lmagan sistema sifatida yagona yechimga ega. Shu yechimni deb belgilaymiz. Demak (1.1.16) sistema larni bir qiymatli aniqlaydi. Endi bo‘lgani uchun va larni aniqlash bilan shug‘ullanamiz. Bu koeffitsiyenlarni chegaraviy shartlardan foydalanib topamiz. Uning uchun ni bunday yozamiz:
(1.1.17)
bu yerda
.
Agar (1.1.17) da o‘rniga funksiyani qo‘ysak,
tenglikka kelamiz. Bunda lar o‘rniga larni qo‘yamiz:
Bundan (1.1.17) ga ko‘ra
(1.1.18)
kelib chiqadi. Agar desak, (1.1.18) dan larga nisbatan ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu bir jinsli bo‘lmagan sistema, chunki
va [( );( )]. Agar bo‘lsa, (1.1.18) dan , kelib chiqadi. Bu holda teoremaning isboti ravshan.
Endi holni qaraylik. Bunda 1.1.1-teoremaga ko‘ra (1.1.16) sistemaning determinanti ( larga nisbatan) noldan farqli. Demak, larning yagona qiymatini topa olamiz. O‘sha qiymatlarni desak, lar formulalar bilan topiladi. va , lar uchun topilgan qiymatlarni tegishli ifodaga qo‘ysak, uchun
(1.1.19)
formulaga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, Grin funksiyasining mavjudligi isbot etildi. Bu teoremaning isboti tegishli Grin funksiyasini qurish usulini ham o‘z ichiga oladi.
Bir jinsli chegaraviy masala chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama uchun qo‘yilgan bo‘lsin, ya’ni ushbu
, , (1.1.20)
masala ko‘rilayotgan bo‘lsin. Bu masalaning yechimini quyidagi teorema beradi.
1.1.3-teorema. Agar (1.1.14) masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda oraliqda uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy funksiya uchun (1.1.20) masalaning yechimi mavjud. Bu yechim ushbu
( Grin funksiyasi) (1.1.21)
formula bilan ifodalanadi.
Isbot. (1.1.21) formula bilan aniqlangan biror funksiyani olaylik. Bu funksiya (1.1.20) masalaning yechimi ekanini, ya’ni ushbu
(1.1.22)
, (1.1.23)
Ayniyatlar o‘rinli ekanini isbotlaymiz. Avval (1.1.23) ni ko‘rsataylik. funksiyaning ta’rifiga ko‘ra olingan funksiya tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi. Shuning uchun hosilalari
(1.1.24)
kabi yozish mumkin. (1.1.24) formulani da quyidagicha yozamiz:
Bundan yana bo‘yicha hosila olamiz:
Ammo funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun oxirgi ifoda soddalashadi:
(1.1.25)
Bu formulalardan yana bir marta differensiallab, quyidagi ifodani topamiz:
(1.1.26)
Ma’lumki, ifoda va uning tartibgacha hosilalarining va nuqtadagi qiymatlarini o‘z ichiga oladi. Shunga ko‘ra, (1.1.21), (1.1.24), (1.1.25) lardan sodda o‘zgartirishlar yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:
funksiya ta’rif bo‘yicha ( ) chegaraviy shartni qanoatlantiradi, ya’ni . Shuning uchun oxirgi integral nolga teng va , munosabatlarga egamiz. Bundan olingan funksiya oraliqda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Demak, (1.1.23) isbot etildi. Endi (1.1.21) ni isbot etamiz. Teoremaning shartiga ko‘ra (1.1.14) masala faqat trivial yechimga ega. 1.1.2-teoremadan ekani chiqadi. Shuning uchun olingan funksiya hosilalarining o‘rniga (1.1.24), (1.1.25), (1.1.26) formulalardan foydalanib, ifodasini differensial ifodaga qo‘yamiz:
Demak, intervalda ayniyat o‘rinli. Shunga o‘xshash intervalda ha shu ayniyat o‘rinli ekanini ko‘rsatiladi. Shunday qilib, intervalda uzluksiz funksiya uchun olingan funksiya (1.1.20) chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala.
(1.1.9) formulada bo‘lsin. Biz bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani ko‘raylik. Bu holda asosiy xossasini quyidagi teorema ifoda etadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
