Respublikasi xalq ta`limi vazirligi navoiy davlat pedagogika instituti

misol.x³-2x+4=0 tenglama yechilsin.



Y e c h i s h . Ozod had 4 ning bo‘luvchilari ± 1; ± 2; ± 4 dir. Bularni birin-ketin tenglamadagi x ning o‘rniga qo‘yilganda, ulardan tenglamani qanoatlantirgani tenglamaning ildizi bo‘ ladi. Keyin Bezu teoremasining

2. 
   natijasidan foydalanish kerak. Bu misolda x =-2 uni qanoatlantiradi. Bezu teoremasining 2-natijasiga asosan x³-2x+4 ko‘phad (x+2)ga qoldiqsiz bo‘linadi, ya‘ni berilgan tenglamani
   

x³-2x+4= (x+2) (x²-2x+2) = 0
shaklda yozish mumkin. Endi x²-2x+2=0 tenglamani ^{yechib,x2,3=1±}√ ^{=1±i ekanini topamiz. Demak,x1= - 2, x2,3=1 ± i.}
Endi bu tenglamani boshqa yo‘l bilan yechilishini quyidagilardan ko‘rish
oson:
x³-2x+4=0 ; x³-2x+4= x³-4x+2x+4=x(x²-4)+2(x+2)= (x+2)(x(x-2)+2)=
=(x+2) (x²-2x+2) = 0
^{bundan: x+2=0, x1=-2; x2-2x+2=0 dan x2,3=1±}√ ^=1±i


2-misol.x⁴-3x³+3x²-x=0 tenglama yechilsin.
Y e c h i s h . x⁴-3x³+3x²-x=x(x³-3x²+3x-1)=x(x-1)³=0. Bundan

x₁=0;x_2,3,4=1.

⁹ Muhamedov K: ‖Elementar matematikadan qo‘llanma‖,oliy o‘quv yurtlariga kiruvchilar uchun. Toshkent ―O‘qituvchi‖ -1976.117-118-betlar.
3 - mi s o l . x ⁵ - 3x ⁴ + 2 x ³ =x ³ (x ² - 3 x+ 2 ) = 0 bundan x ³ = 0 v a x ² - 3x+ 2 = 0 ,




x =0 va x = ^√ x =2; x =1.
1,2,3, 4,5 4 5

4. 
   misol. x³-6x²+11x-6=0 tenglama yechilsin.
   

Y e c h i s h . 6 ning bo‘luvchilari ± 1; ± 2; ± 3; ± 6 ni yuqoridagidek tenglamaga qo‘yib tekshiramiz.
x=1 tenglamani qanoatlantiradi. Bezu teoremasining xossasiga asosan:
x³-6x²+11x-6=(x-1)(x²-5x+6)

Endi, x²-5x+6=0 tenglamadan x

₌ √

2,3

5. 
   misol. x⁴+4x³+8x²+16x+16=0 tenglama yechilsin.
   

Y e c h i s h . ± 1; ± 2; ±4;… larni tenglamaga qo‘yib tekshirib ko‘ramiz,
x=-2 uni qanoatlantiradi. Bezu teoremasining 2- natijasiga asosan:
x⁴+4x³+8x²+16x+16=(x+2)(x³+2x²+4x+8)
Demak, qolgan ildizlarni topish uchun x³+2x²+4x+8= 0 tenglama hosil bo‘ldi. Buning chap qismini gruppalab, ko‘paytuvchilarga ajratib yechish qulay, ya‘ni x³+2x²+4x+8=x²(x+2)+4(x+2)= (x+2)(x²+4)=0. Bundan x+2=0 va x²+4=0.Demak, x₁=-2,va x_2,3= .

5. 
   misol. x⁵-3x⁴+4x³-4x²+3x-1=0 tenglama yechilsin.
   

Y e c h i s h . x⁵-3x⁴+4x³-4x²+3x-1=x⁵-x⁴-2x⁴+4x³-4x²+x+2x-1=x⁴(x-1)- 2x(x³-1)+4x²(x-1)+(x-1)= (x-1)(x⁴-2x³-2x²-2x+4x²+1)=0
Bundan:
x-1=0 va x⁴-2x³+2x²-2x+1=0. x⁴-2x³+2x²-2x+1= x⁴-x³-x³+2x²- 2x+1=x³(x-1)-(x³-1)+2x(x-1)= (x-1)(x³-x²+x-1)= (x-1) (x-1) (x²+1)=0.
Bundan: x-1=0, x-1=0, x²+1=0. Demak, x_1,2,3=1, x_4,5=

5. 
   misol. x⁴-9x²+20 = 0 tenglamani yeching.
   

Bu bikvadrat tenglama deb ataluvchi ax⁴+bx²+c=0 (a  0) tenglamaning xususiy holidir. Bunday ko'rinishdagi tenglamalarni yechish uchun x²=y almashtirishni bajarish kerak. Bu almashtirish berilgan tenglamani y² -9y + 20 = 0 kvadrat tenglamaga olib keladi.Biz berilgan tenglamani ko'paytuvchilarga ajratish usuli bilan yechamiz.
Yechish. Tenglamaning chap qismini ko'paytuvchilarga ajratamiz:
x⁴ - 9x² + 20 =(x⁴ - 4x²)-(5x² - 20)= x² (x² - 4)-5(x² - 4)= (x² - 4)(x² - 5)=

^{=(x - 2)(x + 2)(x -} 5 ^{)(x +}
Endi x-2 = 0, x + 2 = 0, x- tenglama yechimlarini topamiz:
^{Javob: {-2; 2; -} 5 ^; 5 ^}.
) = 0.
^{= 0, x +} 5 ^{=0 tenglamalarni yechib, berilgan}

5. 
   misol. x⁴-4x³-10x²+37x-14=0 tenglamani yeching.
   

Yechish. Tenglamaning chap tomonida 4-darajali ko'phad turibdi. Uni kvadrat uchhadlar ko'paytmasi shaklida tasvirlashga harakat qilamiz:
x⁴ - 4x²-10x²+37x -14 = (x² + px + q(x² + bx + c).
Chap va o'ng tomonlarda turgan ko'phadlarning mos koeffitsientlarini tenglashtiramiz:
Bu sistemaning biror butun qiymatli yechimini topamiz. qc = -14dan q va c lar 14 ning bo'luvchilari ekanini ko'rish qiyin emas. Demak, ular uchun ±1, ±2,
±7, ±14 larni sinab ko'rish kerak.
Agar q = 1 bo'lsa, c = 14 bo'ladi. Ikkinchi va uchinchi tenglamalar

 ^{pb  3,}


^14 p  b  37
sistemani beradi.Bu sistemadan b uchun

b² -37b - 42 = 0 tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglama esa yechimga ega emas. Shuning uchun, q = 1 da sistema butun yechimga ega emas.
Agar q = 2 bo'lsa, c=-7 ga ega bo'lamiz. Bu holda sistema q = 2, c = -7, b= 1, p
= -5 lardan tuzilgan butun yechimga ega bo'ladi (tekshirib ko'ring).
Shunday qilib,
x⁴ - 4x³ - 10x² + 37x – 14= (x² -5x + 2)(x² +x-7).

Demak, berilgan tenglama x² -5x + 2 = 0 va x²+ x-7=0 tenglamalarga ajraladi.
Bu tenglamalarni yechib, berilgan tenglamaning ham yechimlari bo'ladigan

5  17
2
1 29
,
2

sonlarni topamiz.

5. 
   misol. (x² + x + 4)² + 3x(x² + x + 4) + 2x² =0 tenglamani yeching.
   

Yechish. Chap tomonni y= x² + x + 4 ga nisbatan kvadrat uchhad sifatida qarab, ko'paytuvchilarga ajratamiz:
y² + 3xy + 2x² =(y + x)(y + 2x).
Bundan (x² +2x + 4)(x² + 3x + 4) = 0 tenglama hosil bo'ladi. Oxirgi tenglama yechimga ega emas. Demak, berilgan tenglama ham yechimga ega emas.

5. 
   misol. (x²-3x+l)(x²+3x+2)(x²-9x+20)=-30 tenglamani yeching.
   

Yechish. (x²+3x+2)(x²-9x+20) = (x + l)(x + 2) (x - 4)(x -5 ) =
= [(x + l)(x - 4)] [(x + 2)(x - 5)] = (x² -3x - 4) • (x² -3x- 10) bo'lgani uchun berilgan tenglamani quyidagicha yozib olish mumkin:
(x² -3x + l)(x² - 3x - 4)(x² - 3x - 10) = -30.
Bu tenglamada y = x² - 3x almashtirish orqali yangi o'zgaruvchi y ni kiritamiz:
(y + l)(y-4)(y-10) = -30,

Bu tenglamadan y₁ = 5, y₂ = 4 + 30 , y₃ = 4 - kvadrat tenglamaga ega bo'lamiz:
larni topib, quyidagi uchta

x²-3x = 5; x²-3x=4 + 30 ; x² –3x=4- 30 .
Bu tenglamalarni yechsak, berilgan tenglamaning barcha ildizlari hosil bo'ladi:

3  29 _;
2
3  25  4
2
30 _; 3 
25  4
2
30 _.

5. 
   ^{miso1. x4 - 2}√ ^{x2 -x + 2-} √ ^{= 0 tenglamani yeching.}
   

Yechish.
= a deb, x⁴-2ax²-x+a²-a=0 tenglamani hosil qilamiz. Bu

tenglamani a ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida qarab, uning a = x²-x,

a = x² + x + 1 ildizlarini topamiz. a =
ega bo'lamiz:
bo'lgani uchun quyidagi tenglamalarga

x²-x = ; x² + x + 1 = .

Bu tenglamalar berilgan tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash imkonini beradi:

^x1,2^{= 1}
1 4
2
² _{; x3,4} 1
4 2  3
2

5. 
   miso1.
   

4x _
x ²  x  3
5x


x ²  5x  3
  ³
2
tenglamani yeching.