Oliy matematika

       

 Isboti. 1) 





х

 deylik. U holda    

1







n

x

n

; 

1

1

1

1







n

x

n

,  

1

1

1

1

1

1

1













n

x

n

,       

n

x

n

n

x

n





























 













 



1

1

1

1

1

1

1

1

    bo’ladi.  Agar 





х

,  u  holda 





n

 va    

n

n

x

х

n

n

n

x

n





























 













 















1

1

1

lim

1

1

lim

1

1

lim

1

  yoki 

1

1

1

1

1

1

1

lim

1

1

lim

1

1

1

1

lim



























 





























 













 











 

n

n

x

n

n

n

n

x

х

n

n

  

1

1

1

lim

1















 









e

x

e

x

х

  bundan    

е

x

x

х













 





1

1

lim

  

kelib chiqadi. 

2)   





х

  deylik.  Yangi      t=-(x+1)    yoki    х=-(t+1)      o’zgaruvchini  kiritamiz.       





t

    da  





х

 va  















































 





















)

1

(

)

1

(

1

lim

1

1

1

lim

1

1

lim

t

t

t

t

x

х

t

t

t

x

 

e

е

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

















 











 













 













 



















1

1

1

1

1

lim

1

1

lim

1

lim

1

1

. 

   Shunday    qilib, 

е

x

x

х













 





1

1

lim

    ekanini  isbotladik.  Bu  limit    ikkinchi  ajoyib  limit  deb 

yuritiladi. 

   Agar bu tenglikda  





х

1

  deb faraz qilinsa, u holda 





х

 da 

0





 

)

0

(





 va       





е













1

0

1

lim

 

tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.  

x

x

у











 



1

1

 funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.  

Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (-

1,0)  intervalda  aniqlanmagan,  ya‘ni 

0

1

1





x

, 

chunki 

x

x

x

1

1

1







 va 

0

,

0

1







x

x

. 

 

Izoh.  Asosi      е    bo’lgan   

x

e

y



  

ko’ursatkichli  funksiya  eksponental  funksiya  deb 

ataladi.  Bu  funksiya  mexanikada(tebranishlar 

nazariyasida),  

89-chizma. 

elektrotexnikada  va  radiotexnikada,  radioximiyada  va  hokazolarda  turli  hodisalarni  o’rganishda 

katta rol o’ynaydi. 

     Izoh.  Asosi 

...

7182818284

,

2



е

sondan  iborat  logarifmlar  natural  logarifmlar  yoki  Neper 

logarifmlari deb ataladi va  

x

og

e



  o’rniga  

x

n



 deb yoziladi.  Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish 

formulasi 

a

og

b

og

b

og

c

c

a









 dan foydalanib o’nli va natural  logarifmlar orasida bog’lanish  o’rnatish 

mumkin: 

x

n

x

n

n

n

x

n

x

g













434294

,

0

10

1

10







  yoki  

x

g

x

g

n

x

n









302585

,

2

10





. 

14-misol. 





e

e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

















 











 













 











 













 



















8

8

8

8

0

1

1

1

lim

1

1

lim

1

1

1

1

lim

1

1

lim

. 

15-misol. 

x

x

x











 





3

1

lim

 topilsin. 

  

Yechish. х=3t   desak, 





x

  da  





t

 va 













 











 











 













 













 













t

t

t

t

t

t

x

x

t

t

t

t

x

1

1

1

1

1

1

lim

1

1

lim

3

1

lim

3

 

3

1

1

lim

1

1

lim

1

1

lim

e

e

e

e

t

t

t

t

t

t

t

t

t



















 











 











 















       bo’ladi. 

16-misol.   















































































1

)

1

(

1

1

2

1

3

1

lim

1

3

1

lim

1

4

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

.

1

3

1

lim

3

1

lim

3

1

lim

3

3

1

1

e

e

y

y

y

y

y

y

y

y





































































 

Ikkinchi ajoyib limit  



1  ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz. 

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash 

   

)

(x







 va 

)

(x







 funksiya  

a

x



  (yoki  





x

) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin. 

Bu  funksiyalarning  yig’indisi,  ayirmasi  va  ko’paytmasi  ham  cheksiz  kichik  funksiya  bo’lishini 

ko’rdik.  Ularning  nisbati,  ya‘ni  bo’linmasi  haqida  gapirilmagan  edi.  Ikkita  cheksiz  kichik 

funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi. 

          1-ta„rif.  Agar 

0

lim







    (yoki 









lim

)    bo’lsa, 



  funksiya



funksiyaga  nisbatan 

yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi. 

     Masalan 

0



x

  da 

x

2

sin





 funksiya 

x





 funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz 

kichik funksiya, chunki   

0

sin

lim

2

0





x

x

 , 

0

lim

0





x

x

   va   

.

0

0

1

sin

lim

sin

lim

sin

lim

0

0

2

0















x

x

x

x

x

x

x

x

 

       

 2-ta„rif.  Agar 

0

lim





A





    bo’lsa, 



  va 



  funksiyalar  bir  xil  tartibli  cheksiz  kichik 

funksiyalar deyiladi. 

     Masalan 

0



x

    da 

x

3

sin





  va 

x





  funksiyalar  bir  xil  tartibli  cheksiz  kichik 

funksiyalardir, chunki   

0

3

sin

lim

0





x

x

 , 

0

lim

0





x

x

   va   

.

0

3

3

sin

lim

0







x

x

x

 

       

3-ta„rif. Agar 

1

lim







 bo’lsa, 



 va 



  cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi 

va   



~



 yoki 







 kabi yoziladi.  

Masalan,

0



x

 da sinx~x, chunki 

1

sin

lim

0





x

x

x

 va 

0



x

 da tgx~x, chunki 

.

1

lim

0





x

x

tg

x

   

Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi. 

       

Teorema. Agar 



~

1



, 



~

1



 bo’lsa,  

1

1

lim

lim











 tenglik to’g’ridir. 

Haqiqatan   

.

lim

1

lim

1

lim

lim

lim

lim

lim

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

















































 

       

17-misol. 

.

5

5

lim

5

sin

lim

0

0









x

x

x

x

x

x

 

        

18-misol. 

.

7

5

7

5

lim

7

sin

5

lim

0

0









x

x

x

x

tg

x

x

 

 

 

 

5. Funksiyaning uzluksizligi 

Argument va funksiyaning orttirmalari 

)

(x

f

y



  funksiya 

 

b

a;

  intervalda  aniqlangan  bo’lsin.  Bu  intervaldan  ixtiyoriy 

0

x   nuqtani 

olamiz, unga funksiyaning 

)

(

0

0

x

f

y



 qiymati mos keladi (90-chizma).  

 

b

a;

 intervaldan olingan argumentning boshqa  х qiymatiga funksiyaning 

)

(x

f

y



 qiymati mos 

keladi. 

0

x

x



  ayirma х    argumentning 

0

x  nuqtadagi  orttirmasi deyiladi  va 

x



 orqali belgilanadi. 

)

(

)

(

0

x

f

x

f



 ayirma 

)

(x

f

 funksiyaning argument orttirmasi 

x



ga mos orttirmasi deyiladi va 

y



 

orqali  belgilanadi.  Shunday  qilib, 

x



=

0

x

x



, 

y



=

)

(

)

(

0

x

f

x

f



.  Bundan     

x

x

x







0

,   

y



=

)

(

)

(

0

0

x

f

x

x

f







. 90-chizmada 

 

b

a;

 intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan 

funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik 

x



 orttirmasiga funksiyaning 

ham  kichik 

y



  orttirmasi  mos  keladi.  Boshqacha  aytganda  argument  х  ning  bir-biriga  yaqin 

qiymatlariga  funksiyaning  ham  bir-biriga  yaqin  qiymatlari  mos  keladi.  Bu  qoida  har  qanday 

funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan, 

x

y

1



 funksiyani qaraylik.  х   ning bir-biriga 

ancha  yaqin 

6

1

10







x

  va 

6

2

10



x

  qiymatlariga  funksiyani  bir-biridan  katta  farq  qiladigan  

6

1

10





y

    va 

6

2

10



y

  qiymatlari  mos  keladi.  Boshqacha  aytganda  argumentning  juda  kichik 

6

1

2

10

2













x

x

x

 orttirmasiga  

funksiyaning  ancha  katta 

6

1

2

10

2











y

y

y

 

orttirmasi  mos  keladi.  Agar  biz 

x

y

1



  funksiyani 

grafigini 

(91-chizma) 

kuzatsak 

grafikning 

uzilishga  ega  (u  ikki  bo’lakdan  iborat)  ekanligini 

va uzilish  х  ning  х=0 qiymatida sodir  

90-chizma. 

bo’lishini  ko’ramiz.  Shuning  uchun  ham    argumentning 

0

x =0  nuqtaga  yaqin  nuqtalardagi  kichik 

orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini 

ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib 

o’rganishni taqozo etadi.