Oliy matematika

O‟ZBEKISTON RESPUBLIKASI  

OLIY VA O‟RTA MAXSUS TA‟LIM VAZIRLIGI  

QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI 

 

 

 

“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI 

 

 

 

 

 

Mavzu: 

Funksiyaning limiti va uzluksizligi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bajardi:                           “

NGI-112” guruh

 

talabasi Qodirov Ilhom 

Qabul qildi:                      

Burxonova Mastura 

 

 

 

 

 

Qarshi 2015 

 

Mavzu : Funksiyaning limiti va uzluksizligi 

 

Reja: 

1.Funksiyaning nuqtadagi limiti 

 

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

 

 

3.

Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi 

 

4.Limitlar haqida asosiy teoremalar.  Ajoyib limitlar.   

 

5. Funksiyaning uzluksizligi 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Funksiyaning nuqtadagi limiti 

)

(x

f

  funksiya    х=а    nuqtaning  biror  atrofida  aniqlangan  bo’lsin    (х=а    nuqtaning  o’zida 

aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin). 

)

( f

D

-funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan 

ixtiyoriy 

  



,...

,....,

,

2

1

n

n

x

x

x

x



 ketma-ketlikni olamiz. 

)

(x

f

 funksiyaning  

 

n

x

 ketma-ketlikning 

nuqtalaridagi qiymatlari 





)

(

n

x

f

 ketma-ketlikni tashkil etadi. 

Ta„rif. Argument  х  ning  а  dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha 

 

n

x

 ketma-ketliklar 

uchun 

)

(x

f

y



  funksiyaning  shu  ketma-ketlik  nuqtalaridagi  qiymatlaridan  tuzilgan 





)

(

n

x

f

 

ketma-ketlik    b    songa  yaqinlashsa,  b  son 

)

(x

f

y



    funksiyaning  х=а    nuqtadagi  (yoki 

a

x



 

dagi) limiti deb ataladi va 

b

x

f

im

a

x





)

(



 yoki  

a

x



da 

b

x

f



)

(

 ko’rinishda yoziladi. 

)

(x

f

 funksiya х=а  nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi 





)

(

n

x

f

 

ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi.  

9-misol. 









.

'

,

0

,

'

,

1

)

(

lsа

bo

son

l

irratsiona

х

agar

lsа

bo

son

ratsional

х

agar

x

D

  Dirixle  funksiyasi  sonlar  o’qining  hech 

bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin. 

Yechish. Son o’qining istalgan  

0

x   nuqtasini olamiz. 

0

x  ga yaqinlashuvchi argumentning  

 

n

x

  ratsional  sonlar  ketma-ketligiga  funksiyaning 





)

(

n

x

D

=

 

1   qiymatlari  ketma-ketligi  mos 

bo’lib uning limiti  1  ga teng bo’lishi ravshan. 

0

x  ga yaqinlashuvchi argumentning  

 

n

x  irratsional 

sonlar ketma-ketligiga funksiyaning 





)

(

n

x

D

=

 

0  qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti  

0    ga  teng  bo’ladi.  Shunday  qilib, 

0

x   ga  yaqinlashuvchi  argumentning 

 

n

x

  va 

 

n

x

  ketma-

ketliklariga  funksiyaning  shu  ketma-ketliklarni  nuqtalaridagi    qiymatlaridan  tuzilgan   





)

(

n

x

D

  va 





)

(

n

x

D

  ketma-ketliklar har xil  limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof. 

Demak 

)

(x

D

  funksiya 

0

x     nuqtada  limitga  ega  emas. 

0

x     nuqta  sonlar  o’qining  istalgan  nuqtasi 

bo’lganligi uchun  u  sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle 

funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan.  

 Ta„rif.  Istalgan 

0





  son  uchun  shunday 

0





  son  mavjud  bo’lsaki, 







a

x

 

tengsizlikni  qanoatlantiradigan  barcha    а    dan  farqli    х    nuqtalar  uchun   







b

x

f

)

(

    tengsizlik 

bajarilsa, b  chekli son  

)

(x

f

  funksiyaning  х=а  nuqtadagi (yoki 

a

x



 dagi)  limiti deb ataladi. 

 Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin.   b  son  

)

(x

f

  funksiyaning х=а  

nuqtadagi    limiti  bo’lganda  (









a

a

,

)    intervaldagi  barcha  х  lar  uchun 

)

(x

f

  funksiyaning 

qiymatlari  (









b

b

,

)  intervalda yotadi. 

   Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin. 

10-misol.    

2

5

25

lim

2

2

5









x

x

x

x

 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang. 

Yechish. 

)

(x

f

=

x

x

x

5

25

2

2





    funksiyani    x=5    nuqtaning  biror  atrofida,  masalan  (4,6) 

intervalda  qaraylik.  Ixtiyoriy 

0





  sonni  olib 







b

x

f

)

(

  ni   

5



x

  deb  quyidagicha  

o’zgartiramiz: 

2

5

2

)

5

(

)

5

)(

5

(

2

5

25

2

2























x

x

x

x

x

x

x

x

x

=

x

x

x

x







5

5

. 

x>4  ekanini  hisobga  olsak      |x|=x>4  bo’lib 

2

5

25

2

2







x

x

x

<

4

5

x



  kelib  chiqadi.  Bundan  ko’rinib 

turibdiki, 





4



  deb  olsak,  u  holda   









|

5

|

0

x

  tengsizlikni  qanoatlantiradigan  barcha 

 

6

;

4



x

  uchun 

2

5

25

2

2







x

x

x

<







4

  tengsizlik  bajariladi.  Bundan  2  soni 

)

(x

f

=

x

x

x

5

25

2

2





 

funksiyaning x=5  nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.  

Ta„rif.  Istalgancha  katta    M>0  son  uchun  shunday   

 

0





M





  son  mavjud  bo’lib, 







|

|

a

x

 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha  а  dan farqli  х  lar uchun 

M

x

f



|

)

(

|

 tengsizlik 

bajarilsa,   

a

x



  da 

)

(x

f

  funksiya  cheksizlikka  intiladi  deb  aytiladi  va  bu   







)

(

lim

x

f

a

x

    kabi 

yoziladi. 

11-misol. 









2

1

lim

2

x

x

 ekani  isbotlansin.  

Yechish. 

)

(x

f

=

2

1



x

    funksiyani  qaraylik.    Ixtiyoriy      M>0  sonni  olsak, 

|

)

(

|

x

f

=

2

1



x

>M tengsizlik 

M

x

1

2





  bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar 

M

1





 deb 

olinsa, 







2

x

  tengsizlikni  qanoatlantiradigan  barcha    х    lar  uchun   

2

1



x

>



1

=M    yoki  

2

1



x

>M  tengsizlik  bajariladi.  Bu  esa 

2



x

  da 

)

(x

f

=

2

1



x

  funksiya  cheksizlikka  intilishini 

bildiradi, ya‘ni     









2

1

lim

2

x

x

. 

 

 

 

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

 

Ta„rif. Agar 

)

(x

f

 funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 

0





 son uchun shunday   N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х 

lar  uchun 







b

x

f

)

(

    tengsizlik  bajarilsa,  o’zgarmas  b    son   

)

(x

f

y



    funksiyaning 





x

 

dagi  limiti  deb ataladi va bu   

b

x

f

x







)

(

lim

 kabi yoziladi. 

12-misol.  

1

1

lim









x

x

x

 ekani  isbotlansin.  

Yechish. 

)

(x

f

=

x

x 1



 

 

funksiyani 

qaraylik. 

Istalgan 

0





 

sonni 

 

olsak   

x

x

x

x

x

x

b

x

f

1

1

1

1

)

(

















 

bo’lib 



1



N

 

 

desak, 

barcha 

|x|>N 

 

uchun  











N

x

x

1

1

1

  tengsizlik  o’rinli  bo’ladi.  Bundan  1  soni 

)

(x

f

=

x

x 1



    funksiyaning 





x

 

dagi  limiti bo’lishi ayon bo’ladi.   

Ta„rif. Agar 

)

(x

f

 funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 

yetarlicha katta M>0 son uchun shunday   N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan 

barcha  х  lar  uchun 

M

x

f



)

(

    tengsizlik  bajarilsa,   

)

(x

f

y



    funksiya 





x

  da  cheksizlikka 

intiladi deyiladi va 









)

(

lim

x

f

x

 kabi yoziladi. 

13-misol. 









2

lim x

x

 ekani  isbotlansin.  

Yechish. 

)

(x

f

=

2

x

  funksiyani  qaraylik. Istalgan  M>0 sonni olib 

M

x

f



)

(

  tengsizlikni 

tuzamiz. 

2

x >M,  bundan   

M

x



  kelib  chiqadi. 

M

N



deb  olinsa, 

N

x



    tengsizlikni 

qanoatlantiradigan barcha  х  lar uchun 

M

N

x





2

2

tengsizlik bajariladi. Bu 









2

lim x

x

 ekanini 

bildiradi.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi 

 

 Teorema. Agar 

)

(x

f

 funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda  у=

)

(x

f

 

funksiya  а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.  

 Isboti. 

b

x

f

a

x





)

(

lim

  chekli  son  bo’lsin.  U  holda  limitni  ta‘rifiga  binoan  istalgan 

0





  son 

uchun  shunday 

0





  son  topilib  (









a

a

,

)    intervaldagi  barcha    х  lar  uchun   







b

x

f

)

(

 

yoki 











b

x

f

b

x

f

)

(

)

(

,  bundan   







b

x

f

)

(

  bo’lishi kelib  chiqadi.  Agar   







b

M

 

deb  olinsa  а  nuqtaning 



-atrofidagi  barcha    х  lar  uchun 

M

x

f



)

(

  tengsizlik  bajariladi.  Bu 

)

(x

f

funksiya (









a

a

,

)  intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.  

Agar  

)

(x

f

  funksiya biror intervalda  chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda 

)

(

1

x

f

 

funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.  

 Bir tomonlama limitlar 

Ta„rif. Agar  

)

(x

f

 funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida  х  o’zgaruvchi   а  dan 

kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi 

1

b  limiti uning   х=а  nuqtadagi (yoki 

a

x



-0 dagi) chap tomonlama limiti  deb ataladi va  

)

(

lim

1

x

f

b

a

x

a

x







,  yoki 

)

(

lim

0

1

x

f

b

a

x







, yoki 

)

0

(

1





a

f

b

 kabi yoziladi.  

Agar  а=0 bo’lsa, u holda 

)

(

lim

0

1

x

f

b

x







=

)

0

(



f

 kabi yoziladi.  

Ta„rif. Agar  

)

(x

f

 funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida  х o’zgaruvchi   а  dan katta 

bo’lganicha  qolsa,  u  holda  funksiyaning  shu  nuqtadagi 

2

b   limiti  uning      х=а    nuqtadagi  (yoki 

a

x



+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi  va  

)

(

lim

2

x

f

b

a

x

a

x







    yoki 

)

(

lim

0

2

x

f

b

a

x







,  yoki   

)

0

(

2





a

f

b

  kabi yoziladi.  

     Agar  а=0 bo’lsa, u holda 

)

(

lim

0

2

x

f

b

x







=

)

0

(



f

 kabi yoziladi. 

         

)

(x

f

 funksiyaning  х=а  nuqtadagi chap 

va  o’ng  tomonlama  limitlari  bir  tomonlama