N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Izoh: Bu teoremadan (2) tenglik bilan aniqlangan Ф(х) berilgan uzluksiz f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, har qanday uzluksiz funksiya uchun uning boshlang‘ich funksiyasi mavjud va uni (2) formula orqali topish mumkin ekan.

2-TEOREMA: Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda

(4)

tеnglik o‘rinlidir.

Isbot: F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Oldingi teoremaga asosan (2) tenglik bilan aniqlangan Ф(х) funksiya ham f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi. Bizga ma’lumki, f(x) funksiyaning har qanday ikkita boshlang‘ich funksiyalari bir-biridan faqat biror C o‘zgarmas qo‘shiluvchi bilan farq qiladi, ya’ni

.

Bu tеnglikda х=а dеb va ekanligidan foydalanib, C=–F(a) ekanligini aniqlaymiz. Bu natijani oldingi tenglikka qo‘yib, ushbu formulaga kelamiz:

.

Oxirgi tеnglikda х=b dеsak,

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formulada t integrallash o‘zgaruvchisini x bilan almashtirib (aniq integralda integrallash o‘zgaruvchisini ixtiyoriy tarzda belgilash mumkinligini eslatib o‘tamiz), isbotlanishi kerak bo‘lgan (4) formulani hosil qilamiz.

Izoh: (4) formulada F(x) sifatida f(x) funksiyaning ixtiyoriy bir boshlang‘ich funksiyasini olish mumkin. Bunga sabab shuki, f(x) funksiyaning ixtiyoriy ikkita F₁(x) va F₂(x) boshlang‘ich funksiyalari bir – biridan faqat biror C o‘zgarmas son bilan farqlanadi va F₁(b)–F₁(a)= F₂(b)–F₂(a) bo‘ladi.

1-TA’RIF: (4) tеnglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Lеybnits formulasi deyiladi.

Aniqmas va aniq integral tushunchalari bir-biriga bog‘liqmas ravishda kiritilgan edi. Aniqmas integral f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari sinfi singari , aniq integral esa f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indilarining limiti singari kiritilganligini eslatamiz. Ammo bu ikkala tushuncha orasida chambarchas bog‘lanish mavjudligi va ularning ikkalasi ham “integral” deb atalishi bejiz emasligini ko‘rsatish uchun Nyuton – Leybnits formulasini shartli ravishda quyidagicha yozamiz:

(5)

Demak, aniq integralni Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash uchun dastlab uning chegaralarini “unutib”, uni aniqmas integral singari qaraymiz va hisoblaymiz. So‘ngra chegaralar borligini “eslab”, aniqmas integralni hisoblangan ifodasiga x o‘rniga yuqori chegara b va quyi chegara a qiymatlarini qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan sonlar ayirmasini olib, berilgan aniq integral qiymatini topamiz. Bunda aniqmas integral javobidagi ixtiyoriy C o‘zgarmas sonni hisobga olmasak ham bo‘ladi.

Misol sifatida, f(x)=x^α (α≠–1) darajali funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integralni (4) Nyuton – Leybnits formulasi yordamida hisoblaymiz:

.

Bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblangan (1) natija bu yerdan α=1 bo‘lganda kelib chiqadi.

Shunday qilib, Nyuton – Leybnits formulasi orqali aniq integralni hisoblash masalasi bizga tanish bo‘lgan aniqmas integralni hisoblash masalasiga keltiriladi. Bunga yana bir nechta misol keltiramiz:

• 
  ; ;
  
• 
  ;
  

• 
  .
  

2.