Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Li kommutatorining xossalari:
Ixtiyoriy silliq vektor maydonlar uchun quyidagilar o‘rinli:




_{Isbot: 10 , 20 va 30 xossalar (1.2.2) tenglikdan kelib chiqadi.
40 - xossani isbotlaymiz. (1.2.2) tenglikka va silliq vektor maydon ta’rifiga ko‘ra}



Nihoyat bu uchta tenglikni qo‘shsak 4⁰ xossaning isbotiga ega bo‘lamiz.
5⁰. Li kommutatorining yana bir xossasi ixtiyoriy lokal koordinatalar sistemasida bazis vektor maydonlar uchun quyidagi munosabat o‘rinli:
(1.2.5)
Haqiqatan ham vektor maydonning lokal koordinatalari ga teng, bu yerda - Kroneker simvollari. Shuning uchun hamma va (1.2.2) dan ekanligi kelib chiqadi.
6⁰. Ixtiyoriy silliq vektor maydonlar va silliq funksiya uchun
(1.2.6)
tenglik o‘rinli.
Bu xossani (1.1.2) va (1.2.2) tengliklardan foydalanib isbotlaymiz:

Faraz qilaylik, silliq ko‘pxilliklar va silliq akslantirish bo‘lsin. differensialni quyidagicha aniqlash mumkin

7⁰. tenglik o‘rinli.
Yuqoridagi formulaga ko‘ra

Li kommutatori X va Y vektor maydonlarning integral chiziqlari bo‘ylab harakatda kommutativlik xarakteriga ega emas (1.2.1-chizma).
Bizga quyidagi diffemorfizm berilgan bo‘lsin. Bunday diffemorfizmlar to‘plami gruppa tashkil qiladi ya’ni -bir parametrli diffeomorfizmlar gruppasi. Haqiqatdan ham agar

deb qarasak gruppaning barcha shartlari o‘rinli bo‘ladi.

1.2.1-chizma
Vektor maydonga tegishli har bir vektor biror chiziqning urinma vektori bo‘lgani uchun boshlang’ich shartlar bilan vektor maydon berilsa, ya’ni

shartlar berilsa uning integral chizig‘ini topish mumkin.
Agar silliq vektor maydonlar uchun bo‘lsa, u holda bu vektor maydonlar bir-birini kommutiruet qiladi deyiladi.
Bizga silliq vektor maydonlar berilgan va ularning integral chiziqlari mos ravishda chiziqlar bo‘lsin.
Lemma 1.2.1. vektor maydonlar ko‘pxillikdagi silliq vektor maydonlar bo‘lsin. Har bir nuqta va yetarlicha kichik uchun kommutator silliq egri chiziqni aniqlaydi va Li qavsi bu chiziqning nuqtadagi urinma vektori bo‘ladi, ya’ni:
(1.2.7)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Faraz qilaylik ko‘pxillikdagi vektor maydon va silliq funksiya bo‘lsin. Biz o‘zgarganda ni qaraymiz. Bu yerda

Agar lokal koordinatalarda bo‘lsa, u holda

Xususun, bo‘lganda bo‘ladi. Bundan Teylor teoremasiga ko‘ra

tenglikka ega bo‘lamiz.
Bu jarayonni davom ettirib va Teylor qatoriga qo‘yib


qatorga ega bo‘lamiz, bu yerda va h.k.
Ikkinchi tomondan

Faraz qilaylik lokal koordinatalar va bo‘lsin. deb faraz qilsak bo‘ladi. Endi bir necha bor (1.2.7) va (1.2.8) yoyilmalardan va Teylor qatoridan foydalanib

Shuning uchun va (1.2.7) formula isbotlandi.
Teorema 1.2.2. vektor maydonlar ko‘pxillikda berilgan bo‘lsin. U holda barcha lar uchun
(1.2.10)
tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. (Zarurligi) Agar (1.2.7) tenglik o‘rinli bo‘lsa yuqoridagi lemmaga ko‘ra ixtiyoriy nuqtada ekanligi kelib chiqadi.
Isbot. (Yetarliligi). Faraz qilaylik va bo‘lsin.
1-hol. Agar nuqtada va vektor maydonlar nolga teng bo‘lsa, u holda ikkala vektor maydonning integral chiziqlari ham nuqtani joyida qoldiradi va demak (1.2.10) tenglik o‘rinli.
2-hol. Vektor maydonlardan kamida bittasi, faraz qilaylik vektor maydon nuqtada noldan farqli bo‘lsin. U holda to‘irlanish haqidagi teoremaga ko‘ra nuqtaga yaqin joyda shunday koordinatalarni tanlab olish mumkinki bu koordinatalarda bo‘ladi. U holda agar

bo‘lsa

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Shuning uchun har bir funksiya ga boliq emas. maydon hosil qilgan integral chiziq bu koordinatalarda bo‘ladi. vektor maydon hosil qilgan integral chiziq , oddiy differensial tenglamaning yechimidir.
Quyidagi

va

funksiyalarni qaraylik. Bu ikkala funksiya ham funksiyasi sifatida differensial tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun va

boshlanich shartlarni qanoatlantirgani uchun ular ustma-ust tushadi, ya’ni bo‘ladi. Bundan esa (1.2.10) tenglik kelib chiqadi.