Мирзаев жасурбек исраилович

ГЛАВА II. ВЛИЯНИЯ КВАНТУЮЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ НА ОСЦИЛЛЯЦИИ ЭНЕРГИИ ФЕРМИ В НАНОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ
В главе II рассматривается влияния квантующем магнитном поля и температуры на осцилляции энергии Ферми в наноразмерных гетероструктурах. Показано, что энергия Ферми наноразмерного полупроводниковых материала в квантующем магнитном поле квантована. Вычислено распределение функции Ферми-Дирака в низкоразмерных полупроводниках при слабых магнитных полях и высоких температурах. Предложенная теории объясняет экспериментальные результаты в двумерных полупроводниковых структурах с параболическим законом дисперсии.


2.1-§. Влияние квантующего магнитного поля на осцилляции энергии Ферми в гетероструктурах с квантовыми ямами
В настоящего время интерес к изучению свойств двумерных электронных систем обусловлен перспективами их применения в наноразмерных полупроводниковых структурах. В таких системах квантовые размерные величины зависимости характеристик имеют, как правило, осциллирующий характер [61;С.371-374. 62;С.526-533. 63;С.1197-1200. 64;С.1813-1816. 65;С.847-852]. В двумерных полупроводниках макроскопические энергетические характеристики, такие как плотность состояний, эффективные массы электронов, энергия Ферми зависят от толщины квантовой ямы. Предполагается, что размер толщины материалов d будет соизмеримо равно длине волны де Бройля электрона в низкоразмерных полупроводниках.
Как известно, энергетический спектр электронов обладает сильно изменяемыми свойствами в зависимости от относительного положения уровня Ферми по отношению к уровням Ландау в двумерных полупроводниках при наличии квантующего магнитного поля. Все электронные газы обладают единым уровнем Ферми , который при абсолютном ноль температуры определяет уровень заполнения энергетических зон электронами. Как известно из экспериментальных и теоретических данных [66;С.371-374. 67;С.1-5. 68;С.177-185.], в двумерных полупроводниках поверхность Ферми при абсолютной температуре наблюдается достаточно высокие амплитуды осцилляций энергии Ферми (). Но, для трехмерного электронного газа осцилляции  будут очень слабыми, даже при низких температурах. В трехмерных полупроводниках  изменяется только линейно, как при классических магнитных полях.
При изучении электронных и магнитных свойств двумерных электронных систем важной характеристикой является энергия Ферми, которая определяет основной вклад в микро и наноразмерных полупроводниках. Поэтому целью настоящей работы является анализ влияния квантующего магнитного поля на размерные осцилляции энергии Ферми в двумерных полупроводниковых структурах.
Известно, в k-пространстве изоэнергетические поверхности E(k)=const замкнуты и представляются в форме сферы. Разрешённые состояния энергии имеют постоянную плотность V/8π³ и распределяются в k-пространстве. Здесь, V-объем кристалла. Так как два противоположных ориентации спина состояния электрона отвечают за каждое значение k, то волновые числа всех состояний, которые будут заполнены, имеют значения не больше k_F в объема кристалла V, согласно принципа Паули и k_F определяется [69;С.620-620.]:
(2.1)
Отсюда
(2.2)
Здесь, N^3d – число электронов для трехмерного электронного газа.
Если система электронов обусловлено статистикой Ферми-Дирака, то энергия в основном состоянии, т.е. при абсолютной температуре, называемая максимальной:
(2.3)
E_F – называемая энергией Ферми для трехмерном электронном газом. Поверхность Ферми будет иметь сферическую форму с радиусом k_F для изотопного закона дисперсии. Выражения, приведенные выше получены только для массивных материалов и не рассматривают изменения осцилляции энергии Ферми в двумерных электронных газах.
Теперь, рассмотрим зависимость энергии Ферми от квантующего магнитного поля в двумерных электронных газах. При отсутствии магнитного поля в двумерных электронных газах энергия электрона квантуется по оси Z, поэтому электрон свободно движется только в плоскости XY. Эти квантования называются размерное квантование. Но, если магнитная индукция B направлена перпендикулярно к плоскости XY, то свободная энергия электрона также квантуется по плоскости XY.
Возникает вопрос: как изменится энергия ферми в двумерных электронных газах при наличии квантующего магнитного поля.
Для двумерного электронного газа, разрешённые состояния энергии имеют постоянную плотность S/4π² и распределяются в плоскости XY. Здесь, S – площадь поверхности кристалла. Тогда, используя формулы (2.1) и (2.2), определяем концентрации электронов для двумерного электронного газа:
(2.4)
Отсюда:
(2.5)
Теперь, вычисляем энергии Ферми для двумерного электронного газа с параболическим законом дисперсии. Подставляя (2.5) к (2.6), можно определить энергии Ферми в двумерных электронных газах при отсутствии магнитного поля:
(2.6)
Здесь, N^2d – концентрация электронов для двумерного электронного газа, L² – поверхность плоскости движения, - импульс Ферми.
В движение плоскости перпендикулярной магнитному полю, классические траектории электронов представляют собой окружности. В квантовой физике такие траектории электронов (периодическое вращение электрона) являются эквидистантными дискретными уровнями Ландау:
(2.7)
Где, n_L – число уровней Ландау. -циклотронная частота.
Известно, что в трехмерных полупроводниках к энергетическому спектру формулы (2.7) добавляется непрерывный квадратичный энергетический спектр . Однако, в двумерных полупроводниках, движение электронов по оси Z квантуются.:
Действительно, толщины квантовой ямы d покрывается условием размерного квантования, другими словами толщина сравнительно близко к длине волны де Бройля электрона в кристалле. Движение электрона вдоль оси Z вычисляется по потенциалу V_z:
(2.8)
При отсутствии магнитного поля в двумерных электронных газах нормированные волновые функции частиц имеет следующий вид [65;С.847-852]:
_(2.9)
Где, k_fx, k_fy – волновые числа для энергии Ферми электронов, n_fz-число размерных квантовантов по оси Z.
В формуле (2.9) нормированные функции в соответствии с (2.8) записываются в следующим виде:
(2.10)
Энергии Ферми электронов, соответствующие состояниям (2.9), будут
(2.11)
Подставляя в (2.6) выражения (2.7), (2.11) получаем следующую формулу при присутствии магнитного поля:
(2.12)

Для площади равной единице (L_xL_y=1) формул (2.12) вычисляется:

_(2.13)
Здесь, фактор заполнения [70;С.104-105]. Это число уровней Ландау, с учетом их спинового расщепления, в квантующем магнитном поле, при абсолютном нуле температуры, полностью заполненных электронами. Этот безразмерный параметр, используется для удобности обсуждения квантовых осцилляционных эффектов в двумерных электронных газах.
Как видно из формулы (2.13), энергии Ферми квантуются, если фактор заполнения равен целому числу, тогда минимальный квант энергии будет , то есть формула (2.13) дает точное значение энергии для первого уровня, соответствующего при
(2.14)
Для всех остальных уровней строгая теория дает выражение
(2.15)
Здесь, фактор заполнения равен целому числу,
Кроме того, в двумерных полупроводниках, при наличии квантующего магнитного поля энергетический спектр электронов является чисто дискретным. Чисто дискретный энергетический спектр, в этом случае энергии Ферми, обычно характерен квантовой точке. В этом случае вектор магнитного индукции будет направлен по оси Z и перпендикулярно вдоль плоскости поперечного двумерного слоя. В поперечном квантующем магнитном поле квантовые ямы становится аналогом квантовой точки, в которой движение ограничено по всем трем направлениям.