Mavzu: Konus kesimlarining qutb koordinatalaridagi tenglamasi

Konus kesimlari - toʻgʻri doiraviy konus sirtini uning uchidan oʻtmaydigan tekislik bilan kesganda hosil boʻladigan chiziqlar.
Konus kesimlarining qisqacha tarixi
Proklning fikriga qaraganda konus kesimlari haqidagi ma'lumotlar 
Menexm (tax. e.o. 350 y.) ga ma'lum bo'lgan. U konus kesimlaridan kubning hajmini ikki hissalash masalasini yechishda foydalangan. Undan so'ng konus kesimlari haqida Aristey(e.o. -V asr) va Yevklid (e.o. III asr) maxsus asarlar yozgan, ammo ularning asarlari 
bizgacha saqlanib qolmagan. Shu mavzudagi saqlanib qolgan birinchi asar Appoloniyning Konus kesimalari (yunonchada Konika)dir. Konus kesimlarisakkizta  kitobdan iborat, uning to'rttasi original tili - yunonchada,keyingi uchtasi yunonchadan arab tiliga Sobit ibn Qurro (836/901) qilgan tarjimada yetib kelgan. Oxirgi sakkizinchi kitob yo'qolgan. O'sha sakkizinchi kitobning mazmunini tiklash bilan arab matematigi Ibn al-Xaysam (965-1039) shug'ullangan. XVIII asrning boshida esa E. Galiley (1812-1910) bu kitobning o'zi yozgan variantini tavsiya qilgan.
Endi esa konusning kesimlariga doir misollar bilan u haqida to’liqroq o’rganishga harakat qilamiz.
1-masala.
Konus yasovchisi 10 ga teng, U asos tekisligi bilan 60^⸰li burchak hosil qiladi.Konus hajmini toping.
Berilgan:
l=10 A=60^⸰
  ABO-to’g’ri burchakli uchburchak
bo’lgani uchun B=30^⸰
= = => r= =5
= = => h=r* =5 V= R²H= * *5²*5 = ;

Qutb koordinatalar sistemasi.

Geometriyada affin va to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi bilan bir qatorda qutb koordinatalar sistemasi ham qaraladi. Ko’plab tadqiqotlarda va egri chiziqning muhim sinflarini o’rganishda qutb koordinatalar sistemasi qo’l kelmoqda.

Shu sistema bilan tanishaylik. Yo’nalishli tekislikda 0 nuqta va bu nuqtadan chiquvchi OP nur va OP nurda yotuvchi   birlik vektor olamiz (32- chizma).

Hosil bo’lgan geometrik obraz qutb koordinatalar sistemasi deyiladi va  ko’rinishda belgilanadi.

O nuqtani qutb boshi, OP nur esa qutb o’qi deyiladi.

Tekislikda  qutb koordinatalar sistemasi va ixtiyoriy N nuqta berilgan bo’lsin, bu nuqtaning tekislikdagi vaziyatini ma’lum tartibda olingan ikkita son:
OE birlik kesmada o’lchangan  masofa (33 - chizma).
OP nur ON nurning ustiga tushishi uchun burilishi kerak bo’lgan yo’nalishli  burchak bilan to’liq aniqlanadi.
N nuqtaning qutb radiusi, ni N nuqtaning qutb burchagi deyiladi. Ularni birgalikda N nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va   ko’rinishda yoziladi. O nuqta uchun  , - aniqlanmagan.

Agar  o’zgarsa, tekislikni har bir nuqtasi qutb koordinatalar bilan ta’minlanadi.

Qutb koordinatalar sistemasini yasash uchun oriyetirlangan tekislikda Biror O nuqta olamiz va bu nuqtadan chiquvchi Ox o’qi kabi nur yasaymiz.
Kesim ellips va parabola boʻlganda kesuvchi tekislik doiraviy konus sirtning bir qismini, giperbola boʻlganda ikkala qismini kesib oʻtadi. Konus kesimining ixtiyoriy M nuqtasi uchun df.di nisbat oʻzgarmas boʻladi. Bu nisbatning qiymati X konus kesimining ekssentrisiteti deyiladi. Konus kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlardir. Konus kesimlari haqidagi izchil asar birinchi marta iskandariyalik olim Appoloniy Pergskiy tomonidan yozilgan (miloddan avvalgi 3-asr). 19-asrda belgiyalik matematik Dandelen Konus kesimlarini konus sirtga ichki chizilgan sfera yordamida toʻla oʻrgangan. Konus kesimlari astronomiya va texnikada keng qoʻllaniladi. Mas, projektor vareflektorlarda parabolik koʻzgular ishlatiladi. Quyosh sistemasidagi sayyoralar Konus kesimlari boʻylab harakatlanib, uning fokuslaridan birida Quyosh turadi. Kometalar parabola va giperbola boʻylab harakatlanadi.