Mavzu: Dеfоrmatsiyaning birgalikdagi tenglamalari. Riman-Kristоfеll tеnzоri. Deformatsiyalarning birgalik tenglamalari Reja

Riman – Kristoffel tenzori va uning xossalari
Evklid fazosi uchun yaroqli bo’lgan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish mumkinki, bunday sistemada fundamental metrik tenzorning komponentalari o’zgarmas bo’ladi, ya’ni g_ik = const. U holda bu fazoning har bir nuqtasi uchun . Agar fazo Riman fazosi bo’lsa, o’tish matrisasining determenanti 0 dan farqli, ya’ni

bo’lganligi uchun (5) formulaga asosan,
(6)
tenglik bajarilishi kerak bo’ladi. Demak, (6) tenglamalar tenglik bajariladigan koordinatalar sistemasini aniqlovchi tenglamalar sifatida qaralishi mumkin. Agar fazoning Evklid fazosi bo’lishligini talab qilinsa, (6) tenglamalar sistemasi bilan  ^ koordinatalar sistemasini  ⁱ Dekart koordinatalar sistemasi bilan almashtirish diffirensial tenglamalar sistemasi bo’ladilar. Umumiy holda bu sistemani integrallab bo’lmaydi. Shunday bo’lsada fazoning Evklid fazosi bo’lishligi sharti (6) tenglamalar sistemasining integrallanish sharti bilan bir xil bo’ladi. Bu shartlarni esa topish mumkin. Buning uchun (6) tenglamalarni ^k koordinatalar boyicha differensiallaymiz

va (6) ga asosan ikkinchi tartibli hosilalarni quyidagicha almashtiramiz
(7)
va

ekanligidan foydalanamiz. U holda (7) ifodalarning birinchisida va larning, 2-sida esa va larning orinlarini almashtirib,


ifodalarga ega bolamiz. Bu ifodalarni orniga qo’ysak,
, (8)
bu yerda va hamma va indekslarning orinlarini almashtirib va ekanligidan foydalanib (8) ga oxshash munosabatni olamiz
. (9)
Keyingi (8) va (9) tengliklarning birini ikkinchisidan ayirib, hamda o’tish determenatli 0 dan farqi bo’lishi kerakligidan foydalansak, fazoning Evklid fazosi bo’lishi shartini keltirib chiqaramiz
. (10)
Agar fazo Evklid fazosi bo’lsa, bu shartlar istalgan koordinatalar sistemasida bajarilishi kerak.
Hosil qilingan lar - 4-rang Riman-Kristoffel tenzorining komponentalaridan iborat. Riman-Kristoffel tenzorining sof kovariant komponentalarining ko’rinishi
(11)
dan iborat, bu yerda

Ko’pincha (11)

ko’rinishda ishlatiladi. Bu formuladan quyidagi xossalar kelib chiqadi:


3-o’lchovli fazoda Riman-Kristoffel tenzori faqat oltita noldan farqli komponentalarda ega, ular

lardan iborat.