Mavzu : Алгебранинг таърифи ва мисоллар, морфизмлар, фактор-алгебра

Ta’rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema U={A, ∑} deb bo’sh bo’lmagan A to’plamga aytiladi, bunda har bir n o’rinli predikat (funksional) simvolga A
to’plamda aniqlangan n-o’rinli predikat mos qo’yilgan. A to’plam {A, ∑} algebraik sistemaning tashuvchisi yoki universumi deb ataladi.
Ta’rif 4. ∑ dagi simvollarga mos keluvchi predikatlar va funksiyalar interpretatsiyalar deyiladi.
Interpretatsiyalarni ham signaturaning mos simvollari bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy constant simvolning interpretatsiyasi A to’plamning biror bir elementi bo’ladi. Algebraik sistemalar odatda U, B,… kabi harflar bilan, ularning tashuvchilari esa A, B,… kabi harflar bilan belgilanadi. Ko’p hollarda algebraik sistema o’rniga “algebraik” so’zi tushirib qoldirilib, sistema yoki struktura so’zi ishlatiladi.
Ta’rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A “tashuvchi”ning quvvatiga aytiladi.
Agar ∑ signatura predikat (funksional) simvollarga ega bo’lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi.
Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo’lsa, unga algebra (model) deyiladi.
Misol 1. bo’lsin, u holda { } to`plam ikkita ikki o’rinli amallar bilan algebra tashkil etadi.
Misol 2. to`plam ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +, ikki o’rinli amallar, ‘: n→ n+1 bir o’rinli amal (µ(‘)=1) va ikkita nol o’rinli amallar (constantalar) 0,1 sistemasidir.
Misol 3. majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo’lish Z to’plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3 Z, element ham Z to’plamga tegishli emas.
Morfizmlar
Faraz qilaylik U={A, ∑} , B={B,∑} algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.
Ta`rif 1. Agar akslantirish uchun quyidagi shartlar bajarilsa,

1. 
   U va B sistemalardagi funksiyalarga mos keluvchi istalgan funksional simvol uchun va istalgan α₁, α₂, … α_n uchun
   
2. 
   U va B sistemalardagi P_U va P_B predikatlarga mos keluvchi istalgan predikat simvollar uchun va ixtiyoriy uchun unga U sistemani B sistemaga akslantiruvchi gomomorfizm deb ataladi.
   

Agar gomomorfizm bo’lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: .
Gomomorfizmda amallar harakati va munosabati saqlanadi. Bu bir sistemaning xossalarini o’rganishda boshqa sistemaga ko’chirishga imkon beradi.
Misol. U = {Z, +, ≤} va B={Z² , + ,≤} sistemalarni qaraymiz, B sistemada qo’shish quyidagi qoida bo’yicha amalga oshiriladi.
, tartiblash munosabati
.
akslantirish sharti bo’yicha aniqlansa u gomomorfizm
bo’ladi. Haqiqatdan, ham istalgan a,b uchun
agar a ≤ b bo’lsa, u holda (a,0) ≤ (b,0) , ya’ni munosabatlar bajariladi.