Ma’ruza №3. Matematik modelga qo`yiladigan talablar va matematik modelni qurish bosqichlari

Matematik modellarni universalligiga doir misollar.
Matematik modellarga qo`yiladigan asosiy talablardan biri universallik talabidir. Ya’ni, matematik Model nafaqat alohida, konkret jarayon yoki ob’yektni ifodalashi lozim, balki, yetarlicha kengroq turli jarayon yoki ob’yektlarni ifodalashi lozim. Masalan, tabiati turlicha bo`lgan tebranish jarayonlarini misol sifatida keltirish mumkin.

1. 
   Kondensator va induktivlik katushkasidan iborat tebranuvchi elektr konturi. Quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: - kondensator zaryadi, - kondensatordagi kuchlanish, - kondensator sig`imi, - katushkalarning induktivligi, - o`zinduktsiyaning elektr yurituvchi kuchi, - tok kuchi. Ma’lumki, fizika fanida quyida keltiriladigan qonun va formulalar mavjud:
   

.
Ushbu keltirilgan formulalar asosida quyidagi differentsial tenglamani hosil qilish mumkin:
.
Bu esa mexanika fanidan ma’lum bo`lgan

tebranish formulasining o`zginasidir.

2. 
   Ikki biologik populyatsiyaning o`zaro ta’sirlashuvida hosil bo`ladigan kichik tebranishlar. Bu yerda quyidagi belgilashlar kiritamiz: - o`txo`rlar populyatsiyasi soni, - go`shtxo`rlar populyatsiyasi soni. U holda o`zaro ta’sirlashuvchi ushbu populyatsiyalar sonining o`sish tezligi quyida keltiriladigan Lotki-Volter tenglamalar sistemasi bilan ifodalanadi:
   

Bu oddiy differentsial tenglamalar sistemasi bo`lib, u chiziqsizdir. Agar shart bajarilsa, ya’ni
.
qiymatlarda bu sistema muvozanatda bo`ladi.
va belgilashlardan foydalanib, ushbu tenglamalar sistemasini quyidagi chiziqlashtirilgan sistema ko`rinishiga keltirish mumkin:

Yoki bu sistemani bitta tenglama ko`rinishiga keltirish mumkin:
.
Bu yuqorida keltirilgan tebranish tenglamasining xuddi o`zidir.

3. 
   Maosh va ish bilan bandlik o`zgarishining oddiy modeli. Bu masalani o`rganish uchun quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: - maosh, - ish bilan band bo`lgan ishlovchilar soni. Mehnat bozorining muvozanati maosh bilan ishlashga rozi bo`lgan sondagi ishlovchilar mavjudligidan iborat. Matematik modelni hosil qilishda quyidagi farazlardan foydalanamiz:
   

a) ish beruvchi ish bilan band bo`lgan ishlovchilar sonining muvozanat qiymati dan og`ishiga proportsional ravishda maoshlarni o`zgartiradi;
b) ishlovchilar soni maoshning muvozanat qiymati ga nisbatan o`zgarishiga proportsional tarzda o`zgaradi.
U holda quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilish mumkin:

Bu tenglamalar sistemasidan yuqorida hosil qilingan tebranish tenglamalarini hosil qilish mumkin:
.
Xulosa sifatida shuni aytish mumkinki, matematik modellarni universalligi bitta tenglamadan tabiati turlicha bo`lgan bir necha jarayonlarni yoki ob’yektlarni o`rganishda foydalanish imkoniyatini yaratar ekan.