Markov zanjirlari

Markov zanjiri holatlarining klassifikatsiyasi
M – Markov zanjirining holatlar to’plami, esa - holatdan - holatga qadamda o’tish ehtimoli bo’lin. Markov zangiri holatlarini Markov zamjiri trayektoriyalari, ularga tushish momentlarining xarakteriga ko’ra klassifikatsiyalash mumkin. 5- ta’rif. Agar biror uchun bo’lsa, u holda bir jinsli Markov zanjirining - holati - holatdan keyin keladi deyiladi va buni simvol orqali belgilanadi. Agar va bo’lsa , va holatlar tutashgan holatlar deyiladi. – holatlar to’plamida ekvivalent munosabat bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Quyida keltirilgan tushunchalar Markov zanjirlari nazariyasida ko’p ishlatiladi. holat: 1) agar bo’lsa yutib qoluvchi holat deyiladi:
2) agar shartni qanoatlantiruvchi - vaqt momentlarining eng katta umumiy bo’luvchisi bo’lsa, davrli holat deyoladi;
3) aga r uning davri birga teng bo’lsa, u holda u davriy emas deyiladi;
4) agar bo’lsa, u holda u ahamiyatga molik emas deyiladi;
5) agar bo’lsa, u holda u ahamiyatga molik holat deyiladi.
Ahamiyatga molik - holat: a) agar shart bajarilsa, qaytaruvchi; b) bunda agar da bo’lsa, u holda “nol qaytuvchan” deyiladi; c) agar shart bajarilsa, musbat qatuvchan holat deyiladi. Barcha tutashgan holatlar sinflaridan tashkil topgan to’plamda qisman tartib munosabati o’rnatilgan: A va B tutashgan holatlar sinflari bo’lsin. Agar eng kamida bitta holat qandaydir holatdan keyin kelsa, u holatlar sinfi A, B dan so’ng kelsa, u holda holatlar sinfi A, B dan so’ng keladi deyiladi va buni simvol orqali belgilanadi. Tutashgan sinflar uchun , vaziyat (hol) bo’lgandagina bajarilishi mumkin. Qaytuvchan holatlar final sinf tashkil qiladi: ulardan so’ng boshqa sinflar kelishi mumkin emas. Har bir yutib qoluvchi holat qaytuvchan, holatlar sinfini tashkil etadi. 6-ta’rif. Bitta tutashgan holatlar sinfidan iborat bo’lgan Markov zanjiri yoyilmaydigan , agar u bir nechta tutashuvchi holatlar sinfidan tashkil topgan bo’lsa, u yoyiluvchi Markov zanjiri deyiladi.
5-misol. a) Davriy zanjirlar. O’tish matritsasi bo’lgan bir jinsli Markov zanjiri berilgan bo’lsa, u holda
. ,
tengliklar o’rinli. Demak,

Xuddi shunday effect blokli matritsalar uchun ham o’rinli bo’lib, bu yerda - ( kvadrat matritsa bo’lishi shart bo’lmagan) stoxastik matritsalar, nollar esa mos o’lchovlarga ega bo’lgan nollardan tashkil topgan matritsalardan iborat. b) ahamiyatga molik bo’lmagan va yutib qo’yuvchi holatlar.
Holatlar to’plami va o’tish matritsasi , bo’lgan Markov zanjirida 1-holat- ahamiyatga molik bo’lmagan, 2- va 3- holatlar esa yutib qoluvchi holatlar:


ko’rinishidagi blokli matritsalar ham huddi shunday xossaga ega, bu yerda -stoxastik matritsalar: matritsa ahamiyatga molik bo’lmagan holatlar sinfiga mos keladi, va matritsalar esa tutashuvchi holatlar sinflariga mos kelishi mumkin. 3-teorema. (Bir jinsli Markov zanjirining qaytuvchanlik kriteriyasi). Markov zanjirining holati qaytuvchan bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli. Isboti. shartda, zanjirni -holatga qaytish momentlarining ketma-ketligini ko’ramiz:
, ,
odatdagidek deb olamiz. 1-lemma. Agar bir jinsli Markov jarayoni bo’lsa, u holda shartda , bog’liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligidan iborat. Isboti. munosabat o‘rinli bo’lgani sababli, Markov xossasiga ko‘ra, ixtiyoriy natural va ixtiyoriy holatlar uchun

shuning uchun ham bo’lganda trayektoriyaning taqsimoti ga va ga bog’liq emas. Demak, ixtiyoriy uchun tasodifiy oraliqning uzunligi , oraliqlarning uzunligiga bog’liq emas va tasodifiy miqdorlarning taqsimoti bilan bir xil taqsimlangan. Agar bo’lsa, u holda

ekanligini qayd etamiz. Shuning uchun ham qaytuvchanlikni qayta quyidagicha ta’riflash mumkin: holat qaytuvchan bo’lishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.
tasodifiy indikatorlar ketma-ketligini kiritamiz, qadamda -holatga qaytishlar soni bo’lsin:

bo’lgani sababli, .
Agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, uning uchun

va shuning uchun ham
.
Bundan, ni tanlash ixtiyoriy bo’lgani uchun kelib chiqadi. Ikkinchi formuladan, agar bo’lsa, u holda ketma-ketlik birinchi marta bo’lgan da tuzilib qoladi. Agar

bo’lsa, u holda yuqorida isbotlangan lemmadan

kelib chiqadi, ya’ni tasodifiy miqdor parametrli geometric taqsimotga ega, demak, shuning uchun ham, ixtiyoriy uchun

ya’ni . 3-teorema isbotlandi.