Kamida va eng yuqori qiymatlar

$D$ yopiq domenida $z=f(x,y)$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

1. 
   $z=f(x,y)$ funksiyaning $D$ mintaqasiga tegishli kritik nuqtalarini toping. Kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblash.
   
2. 
   Mumkin bo‘lgan maksimal va minimal qiymatlar nuqtalarini topib, $D$ mintaqasi chegarasida $z=f(x,y)$ funksiyaning harakatini o‘rganing. Olingan nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblang.
   
3. 
   Oldingi ikkita paragrafda olingan funktsiya qiymatlaridan eng kattasini va eng kichikini tanlang.
   

Kritik nuqtalar nima? ko'rsatish / yashirish
ostida tanqidiy nuqtalar ikkala birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng boʻlgan nuqtalarni bildiradi (masalan, $\frac(\qisman z)(\qisman x)=0$ va $\frac(\qisman z)(\qisman y)=0 $) yoki kamida bitta qisman hosila mavjud emas.
Ko'pincha birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng bo'lgan nuqtalar deyiladi statsionar nuqtalar. Shunday qilib, statsionar nuqtalar kritik nuqtalarning kichik to'plamidir.
№1 misol
$x=3$, $y=0$ va $y=x chiziqlari bilan chegaralangan yopiq mintaqada $z=x^2+2xy-y^2-4x$ funksiyasining maksimal va minimal qiymatlarini toping. +1$.
Biz yuqorida aytilganlarga amal qilamiz, lekin birinchi navbatda biz $D$ harfi bilan belgilab qo'yilgan ma'lum bir maydonni chizish bilan shug'ullanamiz. Bizga berilgan uchta tenglama to'g'ri chiziqlar, bu maydonni cheklaydi. $x=3$ toʻgʻri chiziq $(3;0)$ nuqtadan y oʻqiga (Oy oʻqi) parallel oʻtadi. $y=0$ to'g'ri chiziq abscissa o'qi (Ox o'qi) tenglamasidir. $y=x+1$ to'g'ri chiziqni qurish uchun biz ushbu to'g'ri chiziqni o'tkazadigan ikkita nuqtani topamiz. Siz, albatta, $ x $ o'rniga bir nechta ixtiyoriy qiymatlarni almashtirishingiz mumkin. Masalan, $x=10$ oʻrniga quyidagini olamiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ to‘g‘rida yotgan $(10;11)$ nuqtani topdik. Lekin $y=x+1$ toʻgʻri chiziq $x=3$ va $y=0$ toʻgʻrilari bilan kesishgan nuqtalarni topish maʼqulroqdir. Nima uchun yaxshiroq? Chunki biz bir tosh bilan bir nechta qushlarni yotqizamiz: $y=x+1$ toʻgʻri chiziqni qurish uchun ikkita nuqta olamiz va shu bilan birga bu toʻgʻri chiziq berilgan chiziqni tutashgan boshqa chiziqlarni qaysi nuqtalarda kesib oʻtishini aniqlaymiz. hudud. $y=x+1$ chiziq $x=3$ chiziqni $(3;4)$ nuqtada, $y=0$ - $(-1;0)$ nuqtada kesishadi. Yechim jarayonini yordamchi tushuntirishlar bilan aralashtirib yubormaslik uchun men ushbu ikki nuqtani olish masalasini eslatmaga qo'yaman.
$(3;4)$ va $(-1;0)$ ballari qanday olindi? ko'rsatish / yashirish
$y=x+1$ va $x=3$ chiziqlarning kesishgan nuqtasidan boshlaylik. Kerakli nuqtaning koordinatalari ham birinchi, ham ikkinchi chiziqlarga tegishli, shuning uchun noma'lum koordinatalarni topish uchun tenglamalar tizimini echishingiz kerak: