Kamida va eng yuqori qiymatlar

Biz birgalikda funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini qidiramiz

Misol 1. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topingsegmentida [-1, 2] .
Qaror. Bu funksiyaning hosilasini topamiz. Hosilni nolga () tenglashtiring va ikkita kritik nuqtani oling: va . Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun uning segment uchlari va nuqtadagi qiymatlarini hisoblash kifoya qiladi, chunki nuqta segmentga tegishli emas [-1, 2] . Bu funksiya qiymatlari quyidagilardan iborat: , , . Bundan kelib chiqadi eng kichik funktsiya qiymati(quyidagi grafikda qizil rang bilan belgilangan), -7 ga teng, segmentning o'ng uchida - nuqtada erishiladi va eng buyuk(shuningdek, grafikda qizil), 9 ga teng, - kritik nuqtada .

Agar funktsiya ma'lum bir oraliqda uzluksiz bo'lsa va bu oraliq segment bo'lmasa (lekin, masalan, interval bo'lsa; oraliq va segment o'rtasidagi farq: intervalning chegara nuqtalari intervalga kiritilmaydi, lekin segmentning chegara nuqtalari segmentga kiritilgan), keyin funktsiya qiymatlari orasida eng kichik va eng katta bo'lmasligi mumkin. Masalan, quyidagi rasmda tasvirlangan funksiya ]-∞, +∞[ da uzluksiz va eng katta qiymatga ega emas.

Biroq, har qanday oraliq uchun (yopiq, ochiq yoki cheksiz) uzluksiz funktsiyalarning quyidagi xossasi amal qiladi.
4-misol. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida [-1, 3] .
Qaror. Bu funksiyaning hosilasini qismning hosilasi sifatida topamiz:
.
Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bizga bitta muhim nuqtani beradi: . U [-1, 3] oraliqlariga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Keling, ushbu qiymatlarni taqqoslaylik. Xulosa: -5/13 ga teng, nuqtada va eng katta qiymat nuqtada 1 ga teng.

Biz birgalikda funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini qidirishda davom etamiz

Shunday o'qituvchilar borki, ular funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish mavzusida talabalarga ko'rib chiqilganlardan murakkabroq misollar keltirmaydilar, ya'ni funktsiya polinom yoki kasr, numerator bo'lgan misollar. va maxraji ko'phadlardir. Ammo biz bunday misollar bilan cheklanib qolmaymiz, chunki o'qituvchilar orasida talabalarni to'liq fikrlashga majbur qilishni yaxshi ko'radiganlar bor (hosilalar jadvali). Shuning uchun logarifm va trigonometrik funktsiyadan foydalaniladi.