I bob gruppa, maydon, algebraik sistemalar haqida

=j₂(j₁(y))=j₂(y)=x(j₂oj₁)oj₂=j₁; [j₂o(j₁oj₂)](x)=j₂o(₁(x)))=
=j₂(j₁(y))=j₂(y)=xj₂o(j₁oj₂)= j₁
bulardan (j₂oj₁)oj₂=j₂o(₁oj₂) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni ham shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 2⁰: G da j! Neytral element vazifasini bajaradi. 3⁰: f, va f₂ larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j₂oj₂)(x)= j₂(j₂)(x)=j₂(y)=xj₂oj₂=j₁oj₁
(j ₂oj ₂)(y)=j ₂(j ₂)(y)=j ₂(y)=yj₁(y) j ₂oj ₂=
(j₁oj₁)(x)=j₁(j₁(x))=j₁(x),(j₁oj₁)(y)=j₁(j₁(y))=j₁(y)j₁oj₁=j₁
Demak, j₁^-1=j₁j₂^-1=j ₂4⁰: j₁oj₂=j₂oj₁ ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, (G; ⁰ , j₁) Abel gruppasi ekan.
G gruppa bo‘lsa, (aG) e*a=a. Va a'*a=e tengliklar ham o‘rinli bo‘ladi.
Ta’rif. G gruppa GN bo‘lib, agar N to‘plam G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa, u holda N gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi.
Misol 6. (2Z; + , 0) gruppa (Z; + , 0) gruppaning qismgruppasi bo‘ladi.
Ta’rif. Aytaylik (G₁; * ) va (G₂; ) gruppalar bo‘lsin.
Agar j:G₁G₂ - syur’ektiv akslantirish "(a,bÎG) j(a*b)=j(a)j(b) shartni qanoatlantirsa, G₁ gruppa G₂ gruppaga gomomorf deyiladi,
j- akslantirish esa bu gruppalarning gomomorfizmi deyiladi.
Agar j:G₁G₂ – biektiv akslantirish bo‘lsa, u holda G₁ va G₂ gruppalarning gomomorfizmi a ni izomorfizm deyiladi.
Misol. 7. Aytaylik G₁=Z, G₂={2ⁿ::nÎ Z} bo‘lsin, uholda (Z; +, 0), (G₂;  , 1) lar gruppalar bo‘ladi.
"(nÎZ) j(n)=2ⁿ, j:ZG₂ biektiv akslantirish, shu bilan birga , " (n,mÎ Z) j (n+m)=2^p+m=2ⁿ-2^m=j(n)j (m) ekanligidan (Z; + , 0) gruppa {G₂;  , 1) gruppaga izomorf. j esa ularning izomorfizmi bo‘ladi.

2. 
   Algebraik sistema. Algebraik sistemalar gomomrfizmi.
   

A bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin.
Ta’rif. Agar A to‘plamda • algebraik amal aniqlangan bo‘lsa (A,) ni algebraik struktura yoki algebraik sistema deyiladi.
Masalan. Z-butun sonlar to‘plamida odatdagi qo‘shish, ayrish, ko‘paytirish amallaridan farqli, ular yordamida Z da  n,meZ, n• m= n+ m — nm, n m= —n —m va boshqa amallarni aniqlash mumkin. Bu holda (Z; +), (Z;-)i (Z; •), (Z; ®), har xil algebraik sistemalarga ega bo‘lamiz.
1-misol. (a,b,c,dR) lar uchun ko‘rinishdagi barcha ikkinchi tartibli kvadratik matritsalar to‘plami E da matritsalarni tengligi, qo‘shish va ko‘paytirish amallarini odatdagicha aniqlaymiz:

Bu holda (E; +; • ) algebraik sistema bo‘lib +; • amallar E da binar algebraik amallar.

Ta’rif. Aytaylik (E; + ) va (E; •) lar algebraik sistema, * va • lar ularning mos binar algebraik amallari bo‘lsin, agar shunday : E F syur’ektiv (biektiv) akslantirish mavjud bo‘lib, a,bE uchun (a*b)-q= (a) (b) shart bajarilsa akslantirishni E ni F ga gomomof (izomorf) akslantirish deyiladi.
2-misol. C={z:z=a+bi, a,bR, i²= -1} hamma kompleks sonlarning to‘plami, R — hamma haqiqiy sonlarning to‘plami bo‘lsin, u holda (S; + ) va (R; + ) algebraik sistemalar bo‘ladi. :SR akslantirishni (zC) z=a+bi, (z)=a ko‘rinishda aniqlasak,  S va R ga gomomorf akslantirish bo‘ladi.
Haqiqatan ham(z₁+z₂C)z₁=a₁+b₁i,z₂=a₂+b₂i z₁+z₂=(a₁+a₂)(b₁+b₂)i bo‘lib, bu holda ( z₁+z₂)=(( a₁+a₂)+( b₁+b₂)i)= a₁+a₂ = (a₁+b₁i)+( a₂+b₂i)=(z₁), (0)=0.
3-misol. (R^+;) algebraik sistema (R;+) algebraik sistemaga izomorf.
Haqiqatan ham, (xR⁺) (x)=lgx tenglik bilan aniqlasak, :R⁺N biektiv akslantirish. (x,uR⁺) (xu)=1g(xy)=lgx+lgy= =(x)+ (u), (1)=lg1=0. Demak,  ( R^+;) algebraik sistema (R;+) algebraik sistemaga izomorf akslantirish ekan.
Ta’rif. Agar (E,*) algebraik sistema FE va F  bo‘lsa, hamda a,b F uchun a*b  F shart bajarilsa (F,*) algebraik sistema (E,*) algebraik sistemada yopiq deyiladi.